Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F

求证：1、FD²=FBxFC.
2、若G是BC的中点，连接GD,GD与F垂直吗？

Answer 1

1.证明:CD垂直AB,E为AC中点,则DE=AC/2=AE,∠A=∠ADE=∠FDB;
又∠A=∠DCG(均为∠ECD的余角).故∠FDB=∠DCB.
又∠F=∠F,则⊿FDB∽⊿FCD,FD/FC=FB/FD,FD²=FBxFC.
2.GD垂直FD.
证明:CD垂直AD,E为AC中点,则DE=AC/2=CE,得∠CDE=∠ECD;
同理可证:DG=CG,∠GDC=∠GCD.
则∠CDE+∠GDC=∠ECD+∠GCD=90度,故GD垂直FD.

Answer 2

第一问：你先证出角DCB=角A，再利用CD⊥AB，得出一个直角三角形，因为E是AC的中点，所以由直角三角形斜边的中线的性质可得DE=AE，所以角A=角ADE,再由角ADE=角FDB,所以得出角FDB=角A。再由公共角角F，得出三角形FDB相似于三角形FCD,由此得出比例式
FD：FC=FB:FD。即　FD²=FBxFC.
第二问：GD垂直于FE。

Answer 3

解答：1、∵E是直角△ADC斜边中点，∴EA=EC=ED，又∠A＋∠ACD=90°，∠ACD＋∠DCF=90°，∴∠A=∠DCF，由EA=ED，∴∠A=∠EDA=∠FDB，∴∠DCF=∠BDF，∠F=∠F，∴△DCF∽△BDF，∴DF／BF=CF／DF，∴FD²=FB×FC。 2、同理：在直角△CDB中，G是斜边CB的中点，∴GD=GC=GB，∴∠CDG=∠GCD，∠ECD=∠EDC，而∠ECG=90°，∴∠EDG=90°，∴GD⊥EF

Answer 4

1.证明:CD垂直AB,E为AC中点,则DE=AC/2=AE,∠A=∠ADE=∠FDB;
又∠A=∠DCG(均为∠ECD的余角).故∠FDB=∠DCB.
又∠F=∠F,则⊿FDB∽⊿FCD,FD/FC=FB/FD,FD²=FBxFC.
2.GD垂直FD.
证明:CD垂直AD,E为AC中点,则DE=AC/2=CE,得∠CDE=∠ECD;
同理可证:DG=CG,∠GDC=∠GCD.
则∠CDE+∠GDC=∠ECD+∠GCD=90度,故GD垂直FD

Answer 5

（1）证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴DE=EA，
∴∠A=∠2，（1分）
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A，（2分）
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，
∴∠FDC=∠FBD，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC．（4分）
∴FB /FD =FD /FC ．
∴FD2=FB•FC．（6分）

（2）GD⊥EF．（7分）
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC．
∴∠3=∠4．
由（1）得∵△FBD∽△FDC，
∴∠4=∠1，
∴∠3=∠1．（19分）
∵∠3+∠5=90°，
∴∠5+∠1=90°．
∴DG⊥EF．（10分）