Question

求助，一道高中数学填空题。

已知： a1<a2<a3 b1<b2<b3 且a1+a2+a3=b1+b2+b3 a1a2+a2a3+a1a3=b1b2+b1b3+b2b3 且a1<b1 有四个命题 正确的是

1. b2<a2 2. a3<b3 3. a1a2a3<b1b2b3
4. (1-a1)(1-a2)(1-a3)> (1-b1)(1-b2)(1-b3)
这是一道填空题。。。不是单选题。。目前为止还没人做对。。。 关于这道题我只知道答案，不知道过程。 下面回答的答案都是错的。

Answer 1

选择第二个
反证法：
假设a3≥b3
构造函数f（x）=（x-a1）（x-a2）（x-a3），g（x）=（x-b1）（x-b2）（x-b3）
记A=-（a1+a2+a3），B=a1a2+a2a3+a1a3，C1=-a1a2a3，C2=-b1b2b3
∴f（x）=x^3+Ax^2+Bx+C1，g（x）=x^3+Ax^2+Bx+C2
∵a1<b1
∴g（a1）-f（a1）=（a1-b1）（a1-b2）（a1-b3）<0
而g（x）-f（x）=C2-C1∴C2<C1 （即a1a2a3>b1b2b3,故第三个错了）
另一方面∵假设a3≥b3
∴g（a3）-f（a3）=（a3-b1）（a3-b2）（a3-b3）≥0∴C2≥C1
产生矛盾，因此，假设不成立
∴a3<b3

追问

你做错了。。是填空题，不是单选。

追答

这样啊。。。
上面的构造函数没错。。。第二个也是对的。。
但是抱歉，有个地方确实错了，就是：
即a1a2a3>b1b2b3,故第三个错了
上面这句错了。。。由于C2b2 所以第一个也对
(因为，若a2<b1,则有a1<b1,a2<b2,a3<b3,就不可能有a1+a2+a3=b1+b2+b3，故必大于0)

综上，全是真命题。。

追问

我想问下···你是咋想到构造函数的？？······难道是凭直觉？？

追答

也许是吧。。也看你要求什么了。。。

Answer 2

第二个！ 反证法求解方便些

Answer 3

3

Answer 4

第4个

Answer 5

2