Question

如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,DE平行于BC,又∠ADF=∠C，交AC于点F，若AD=10，BD=AF=8,求AC和AE的长

如图,在RT△ABC中∠ACB=90度,CE为AB上中线,DE⊥AB于点E,交BC与D,C=3,BC=4，求CD的长
如图，在三角形ABC中，AD是∠A角平分线，BE,CF分别垂直于AD,垂足分别是E,F，求证（1）AB:AC=BE:CF(2)AB:AC=BD:CD
如图，在△ABC中，∠C=90度，N,M分别是AB,AC上两点，且AN乘以AB=AM乘以AC，求证MN⊥AB

Answer 1

(1)三角形ADF∽三角形ACB
所以AF/AD=AB/AC
因为AD=10,BD=8,所以AB=18，又AF=8
所以8/10=18/AC，所以AC=22.5
三角形ADE∽三角形ABC
所以AD/AB=AE/EC
所以10/18=AE/22.5
所以AC=25/2=12.5

（2）由勾股定理，AB=5，BE=2.5
三角形BDE∽三角形BAC
所以BD/BA=BE/BC
即BD/5=2.5/4
所以BD=25/8
所以CD=4-BD=4-25/8=7/4

（3）此题先证第二问，再证第一问
过B作AC的平行线，交AD的延长线于F点
由AC平行于BF，所以∠F=∠FAC，
又AD平分∠CAB，所以∠FAC=∠FAB，
所以∠F=∠FAB
所以AB=BF
可证三角形ACD∽三角形FBD
所以AC/BF=CD/BD，又AB=BF
所AC/AB=CD/BD
即AB/AC=BD/CD

①因为∠A是角平分线，前面已证AB/AC=BD/DC
可以证明三角形CDF∽三角形BDE
所以BD/CD=BE/CF
所以AB/AC=BE/CF

（4）因为AN*AB=AM*AC
所以AN/AC=AM/AB，又∠A为公共角
所以三角形ANM∽三角形ACB（有一个角相等，并且这个角的二边对应成比例的三角形相似）
所以∠ANM=∠ACB=90度
所以MN⊥AB

Answer 2

13d