Question

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA×BD=BC×BE 1.求证：AE=AD

Answer 1

由角平分线，得到∠ABE=∠DBC，又BA×BD=BC×BE，即BA：BE=BC：BD，从而△ABE∽△DBC，所以BA：BC=AE：DC，利用角平分线定理，又有BA：BC=AD：DC，所以AE=AD。

Answer 2

因为角ABD=角EBC，AB:BC=BE:BD,所以三角形ABE全等于三角形CBD,所以角BDC等于角AEB等于角ADE,所以AE=AD

Answer 3

∵BA*BD=BC*BE
∴BA/BE=BC/BD
又∵∠CBD=∠ABE
∴△ABE∽△BCD
∴∠BDC=∠AEB
又∵∠BDC=∠ADE
∴∠ADE=∠AEB，得AE=AD

Answer 4

因为BA*BD=BC*BE 所以BD:BE=BC:AB 又因为角ABD=角EBC 所以三角形ABE~三角形CBE 又因为CD=CF，所以Dc:AE=Fc:AE=Bc:AB又因为角ABE=角EBc所以三角形ABD~三角形CBF所以BC:AB=BF:BD所以Bc:AB=BD:BE=BF:BD所以BD^2=BE*BF

Answer 5

解：（1）证明：∵BA•BD=BC•BE，
∴ BABC= BEBD，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）证明：∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴180°-∠CDF=180°-∠CFD，
即∠BDA=∠BFC，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△BDA∽△BFC，
∴ BABC= BDBF，
又∵ BABC= BEBD，
∴ BDBF= BEBD，
∴BD2=BE•BF．