证明：三维行向量空间R⌃3 中的向量集合V＝｛（x,y,z）｜x+y+z＝0｝是向量空间，求它的维数和一个基
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由于已知R3为向量空间,而V是其子集,故对V,只须验证其元素对于向量加法和数乘向量封闭即可.
设v1=(x1,y1,z1), v2= (x2,y2,z2) 为V的任意两个向量,即:x1+y1+z1= 0, x2+y2+z2 = 0.
设k为任意实数.则有:kv1 = (kx1+ky1+kz1), 而kx1+ky1+kz1=k(x1+y1+z1)=k* 0=0;
即kv1仍为V的向量;
v1+v2 = (x1+x2, y1+y2, z1+z2), 而(x1+x2)+( y1+y2)+ ( z1+z2)=(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0;
即v1+v2 仍为V的向量.这就证明了集合V对于加法和数量乘向量这两种运算封闭,因而,V是一向量空间.
由于:方程组:x +y+z =0,的秩为1, 故其解空间的秩为3-1=2.即V的维数为2.
其基中有两个线性无关的向量. 可取为: (1,-1,0), (1,0,-1).为其基.
(取法不是唯一的.)
设v1=(x1,y1,z1), v2= (x2,y2,z2) 为V的任意两个向量,即:x1+y1+z1= 0, x2+y2+z2 = 0.
设k为任意实数.则有:kv1 = (kx1+ky1+kz1), 而kx1+ky1+kz1=k(x1+y1+z1)=k* 0=0;
即kv1仍为V的向量;
v1+v2 = (x1+x2, y1+y2, z1+z2), 而(x1+x2)+( y1+y2)+ ( z1+z2)=(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0;
即v1+v2 仍为V的向量.这就证明了集合V对于加法和数量乘向量这两种运算封闭,因而,V是一向量空间.
由于:方程组:x +y+z =0,的秩为1, 故其解空间的秩为3-1=2.即V的维数为2.
其基中有两个线性无关的向量. 可取为: (1,-1,0), (1,0,-1).为其基.
(取法不是唯一的.)
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