Question

如图 在△abc中∠acb=90°ac=bc=1 将△abc绕点c逆时针旋转角a(0°<a<90°)得到△a‘b’c 连接bb’

（1）当三角形BB'D是等腰三角形时，求a
（2）当a等于60°时求BD的长（精确到0.1）

Answer 1

（1）先由等腰直角三角形得出两底角为45度
当△BB1D是等腰三角形时，BD不可能等于B1D，所以BD,BB1为两腰
∴∠BDB1=∠BB1D
∵∠BDB1=∠BCB1(即旋转角α)+∠CBD（45°）（外角性质）
再∵三角形ABC旋转
∴∠CBB1=∠CB1B
∵∠CBB1+∠CB1B+∠BCB1=180°
∴∠CB1B=（180°-∠BCB1（即旋转角α））/2
再回到第三行，将两个角都代掉
α+45°=（180-α）/2
α=30°

（2）用正弦定理BD/sina=BC/sinD,a=60°,三角形BCD中角D＝180°－60°－45°＝75°。带入数据可得BD＝

如果没学过该定理，那么可以从C点作一条垂直于AB的辅助线，交点设为G。则有CG＝BG，∠G＝90°。根据勾股定理CG＝BG＝BC/根号2。△CDG中∠C＝60°－45°＝15°。DG＝tanC×CG，可得BD＝DG+BG

Answer 2

（1）在△CBB1中
∵CB=CB1
∴∠CBB1=∠CB1B=1 2 （180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD
∵∠B1DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=1 2 （180°-α）-45°=45°-α 2∴45°+α=45°-α 2 ，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D；
③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=1 2 （180°-α），α=30°
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；
（2）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，
∴DG=xtan60°= 3 x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，
∴BG=GD= 3 x，
∵AC=BC=1，
∴x+ 3 x=1
∴x=1 1+ 3 =1 2 ( 3 -1)，
∴DB= 2 BG= 6 x= 6 × 3 -1 2 =3 2 - 6 2 ．

Answer 3

（1）先由等腰直角三角形得出两底角为45度
当△BB1D是等腰三角形时，BD不可能等于B1D，所以BD,BB1为两腰
∴∠BDB1=∠BB1D
∵∠BDB1=∠BCB1(即旋转角α)+∠CBD（45°）（外角性质）
再∵三角形ABC旋转
∴∠CBB1=∠CB1B
∵∠CBB1+∠CB1B+∠BCB1=180°
∴∠CB1B=（180°-∠BCB1（即旋转角α））/2
再回到第三行，将两个角都代掉
α+45°=（180-α）/2
α=30°

（2）用正弦定理BD/sina=BC/sinD,a=60°,三角形BCD中角D＝180°－60°－45°＝75°。带入数据可得BD＝

如果没学过该定理，那么可以从C点作一条垂直于AB的辅助线，交点设为G。则有CG＝BG，∠G＝90°。根据勾股定理CG＝BG＝BC/根号2。△CDG中∠C＝60°－45°＝15°。DG＝tanC×CG，可得BD＝DG+BG