Question

高中 数学 立体几何题

已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形，侧面是全等的等腰三角形，三棱锥内有一个三棱柱，三棱柱的底面也为正三角形，侧面全是全等的矩形。 三棱柱的一底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在三棱锥的底面上。若三棱锥的高为15 ， 底面边长为12 三棱柱的侧面积为120 。

1.求三棱柱的高 2. 求三棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积之比 。

Answer 1

设三棱柱上底DE=EF=FG长为a，三棱锥高SH为15，

所以根据相似（相似定理）

a:12=SG:15,算得SG为1.25a，

所以三棱柱高GH=15-1.25a，

因为三棱柱侧面积为120，

所以

S=120=a乘以（15-1.25a）乘以3，

解得a=4,或a=8，

所以

三棱柱的高GH=10，或GH=5 

侧面积比等于相似比的平方

相似比为4：12或者8：12，

所以面积比为

1：9 或者4：9