Question

设f(x)是R上的增函数，a,b属于R 1.证：当a+b大于等于0时，f(a)+f(b)大于等于f(-a)+f(-b)

2.若1中条件与结论互换，还正确吗？请证明

Answer 1

当a+b≥0时
a≥-b,b≥-a
又f(x)是R上的增函数
所以f(a)≥f(- b)
f(b) ≥f(-b)
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

条件与结论互换，变成......当f(a)+f(b)大于等于f(-a)+f(-b)时，a+b大于等于0
假设 a+b<0
则a<-b,b<-a
又f(x)是R上的增函数
f(a)<f(- b)
f(b) <f(-b)
则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)
与
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾
故假设不成立
a+b≥0

Answer 2

当a+b≥0时，则a≥-b,b≥-a
又f(x)是R上的增函数
所以f(a)≥f(- b)
f(b) ≥f(-b)
所以f(a)+f(b)大于等于f(-a)+f(-b)
反之也成立 ， 证明用反证法
假设 a+b<0
接下来的步骤与上面步骤相似可推出矛盾。

追问

2.若1中条件与结论互换，还正确吗？请证明
点证？

追答

假设 a+b<0
则a<-b,b<-a
又f(x)是R上的增函数
f(a)<f(- b)
f(b) <f(-b)
则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)
与
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾
故假设不成立
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b）时a+b≥0