Question

边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD中心，E、F分别为CC1,AD的中点，求异面直线OE和FD1所成的角?

Answer 1

连接AC,则O在AC上且为AC的中点.连接AC1,OE,在三角形ACC1中,由中位线定理知:OE//AC1.

再取BC的中点G,连接GF,GC1 知:GF//DC//D1C1,且GF=DC=D1C1, 即知FGC1D1为平行四边形.

推出:FD1//GC1,由此知:OE与FD1所成角等于AC1与GC1所成的角AC1G. 以下求此角.

连接AG,在三角形AC1G中

  (AC1)^2= 3a^2,   AC1= (根号3)*a,     AG =GC1 =根号[(5/4)a^2]=a*(根号5)/2

由余弦定理,cos(角AC1G) ={(AC1)^2+ (GC1)^2 -AG^2}/{2*AC1 *GC1}

                                        = 3/{2*[根号(3*5)]/2}= 根号(3/5)= (根号15)/5.

即异面直线OE和FD1所成的角的余弦为:(根号15)/5,而该角为arccos[(根号15)/5]