Question

解不等式 (x+2)(x-1)^2/(x-2)(x+1)≤0

[(x+2)(x-1)^2] / [(x-2)(x+1)]≤0
画数轴怎么求

Answer 1

“数轴穿根法”又称“数轴标根法” 

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x的最高次幂前的系数为正数） 

例如：将 (x+2)(x-1)^2/(x-2)(x+1)≤0可化为 (x+2)(x+1)(x-1)^2(x-2)≤0 ,(除法转为乘法，解没影响)

第二步：将不等号换成等号解出所有根。 

(x+2)(x+1)(x-1)^2(x-2)=0的根为：x1=-2，x2=-1，x3=1，x4=2 

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 

例如：-2 -1 1 2 

第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 且记：奇穿偶不穿，即1那个根不要穿过去，要弹起去穿下一个根。

第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。若是带等号，就把数轴上点带入就行。 

例如： 

若求(x+2)(x+1)(x-1)^2(x-2)≤0 的根。 

在数轴上标根得：-2 -1 1 2 

画穿根线：由右上方开始穿根。 

因为不等号威“≤”则取数轴下方和数轴上的，穿跟线以内的范围。即：x≤2 或-1≤x≤2。

但是你要求的是 (x+2)(x-1)^2/(x-2)(x+1)≤0的解，由于分母不为0，所以x不能等于-1 和2

即结果为x≤-2或-1<x<2

Answer 2

用穿根法做啊，发现令每个因式等于零的数字共有四个，-2，-1， 1， 2

其中1是个平方式等于零的结果故而穿根的时候只蹭它一下即可

如图，

最终的结果就是 （负无穷，-2]∪-1∪[1,2]

Answer 3

(x+2)(x-1)^2/(x-2)(x+1)≤0
∵(x-1)^2≥0
∴原不等式等效于：(x-1)^2 =0；或 (x+2)(x+1)(x-2)≤0，且x-2≠0，x+1≠0
即：x=1；或 (x+2)(x+1)(x-2)≤0，且x≠-1，x≠2
由(x+2)(x+1)(x-2)≤0，且x≠-1，x≠2
x≤-2，或-1＜x＜2
综上：x≤-2，或-1＜x＜2

【问题补充：[(x+2)(x-1)^2] / [(x-2)(x+1)]≤0 画数轴怎么求】
∵(x-1)^2≥0
∴原不等式等效于：(x-1)^2 =0；或 (x+2)(x+1)(x-2)≤0，且x-2≠0，x+1≠0
即：x=1；或 (x+2)(x+1)(x-2)≤0，且x≠-1，x≠2
对于(x+2)(x+1)(x-2)≤0，在数轴上三个零点：
x1=-2，x2=-1，x3=2
在x1=-2左边：x+2≤0，x+1＜0，x-2＜0，故(x+2)(x+1)(x-2)≤0，符合要求
在x1=-2和x2=-1之间：x+2＞0，x+1＜0，x-2＜0，故(x+2)(x+1)(x-2)＞0，不符合要求
在x2=-1与x3=2之间：x+2＞0，x+1＞0，x-2＜0，故(x+2)(x+1)(x-2)≤0，符合要求
在x3=2右边：x+2＞0，x+1＞0，x-2＞0，故(x+2)(x+1)(x-2)＞0，不符合要求

Answer 4

（1）x=1
那么
0=0，成立
（2）x不等于1
(x+2)(x-1)^2/(x-2)(x+1)≤0
(x+1)(x+2)(x-2)≤0
数形结合
奇穿偶不穿
那么,综上
x≤-2或-1<x<2

追问

[(x+2)(x-1)^2] / [(x-2)(x+1)]≤0
数轴上 奇穿偶不穿 是指(x+2)(x-1)^2 整体是3次方 就穿 还是单单看(x-1)^2就不穿？

追答

应该都是化成（X-1）（x+2）的形式为好
之所以我开始讨论x=1的情况
就是为了将分子的(x-1)^2解决
这样在x不等于1的时候
直接化成(x+1)(x+2)(x-2)≤0的形式

——————————————>
-2 -1 2
由此我们数形结合，就可以利用奇穿偶不穿
从左到右，从下往上穿，关于2次项有说法，不过时间长了，认为不如如此法简单

Answer 5

因对任意实数x，(x-1)²≥0
所以(x+2)/(x-2)(x+1)≤0
1. x≤-2时 x+2≤0 x-2<0 x+1<0 则(x+2)/(x-2)(x+1)≤0成立
2. -2<x<-1时 x+2>0 x-2<0 x+1<0 则(x+2)/(x-2)(x+1)>0不成立
3. -1<x<2时 x+2>0 x-2<0 x+1>0 则(x+2)/(x-2)(x+1)<0成立
4. x>2时 x+2>0 x-2>0 x+1>0 则(x+2)/(x-2)(x+1)>0不成立
所以, x≤-2或-1<x<2