Question

设a为实数，函数f(x)=2x^2+(x-a)丨x-a丨,设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出不等式h(x)≥1的解集

答案中给出的那个 √2\2 是从哪来的???

Answer 1

因为x>a，所以h(x)= 2x^2+(x-a)^2 = 3x^2-2ax+a^2，则不等式h(x)≥1化简为(x-a/3)^2 ≥ 1/3-2/9a^2
1、当1/3-2/9a^2 ≤0，即a≤-√6/2或a≥√6/2时，(x-a/3)^2 ≥ 1/3-2/9a^2恒成立，所以解得x∈(a,+∞)
2、当1/3-2/9a^2 >0，即-√6/2<a<√6/2时，h(x)≥1的解集为x≥ a/3+√(1/3-2/9a^2)或x≤ a/3-√(1/3-2/9a^2)，且有x∈(a,+∞)。
1）令a/3+√(1/3-2/9a^2) = a，得a=√2/2∈(-√6/2,√6/2)，因为由前式可得√(1/3-2/9a^2) = 2/3a，所以舍去负根-√2/2。
进而可得：当-√6/2<a<√2/2时，a/3+√(1/3-2/9a^2)>a；当√2/2 ≤a<√6/2时，a/3+√(1/3-2/9a^2)≤a；
2）令a/3-√(1/3-2/9a^2) = a，得a=-√2/2∈(-√6/2,√6/2)，因为由前式可得√(1/3-2/9a^2) = -2/3a，所以舍去正根√2/2。
进而可得：当-√6/2<a<-√2/2时，a/3-√(1/3-2/9a^2)>a；当-√2/2 ≤a<√6/2时，a/3-√(1/3-2/9a^2)≤a；

综上所述：
当a∈(-∞,-√6/2]时，h(x)≥1的解集为(a,+∞)
当a∈(-√6/2,-√2/2)时，h(x)≥1的解集为(a,a/3-√(1/3-2/9a^2)]∪[a/3+√(1/3-2/9a^2),+∞)
当a∈[-√2/2,√2/2)时，h(x)≥1的解集为[a/3+√(1/3-2/9a^2),+∞)
当a∈[√2/2,√6/2)时，h(x)≥1的解集为(a,+∞)
当a∈[√6/2,+∞)时，h(x)≥1的解集为(a,+∞)

Answer 2

对于函数h(x)=f(x),有x∈(a,+∞),即x>a,则f(x)=2x^2+(x-a)丨x-a丨=2x^2+(x-a)^2>=1
2x^2+(x-a)^2-1=3x^2-2ax+a^2-1>=0,即对于方程3x^2-2ax+a^2-1最多有一个根（画图）
由求根公式得到b^2-4ac<=0,将值带入有:a^2-3(a^2-1)=3-2a^2<=0,所以a>=根3/2,或a<=负根3/2