Question

在三角形ABC中，边a平方，b平方，c平方成等差数列。求证：cotA,cotB,cotC也为等差数列

Answer 1

证明：
cotA=cosA/sinA, cotC=cosC/sinC
cotA + cotC=cosA/sinA + cosC/sinC = (cosAsinC + cosCsinA)/sinAsinC
=sin(A+C)/sinAsinC
=sinB/sinAsinC
根据正弦定理可得，sinB=b/2R, sinA=a/2R, sinC=c/2R
所以，cotA + cotC=(b/2R) /(a/2R * c/2R)=2Rb/ac

cotB=cosB/sinB，
根据正弦定理可得，sinB=b/2R；根据余弦定理，cosB=(a² + c² - b²)/2ac
又已知a²，b²，c²成等差数列，即a² + c² = 2b²，所以cosB=b²/2ac
所以，由正弦定理，及余弦定理结论可得，
cotB=cosB/sinB=(b²/2ac)/(b/2R)=Rb/ac
显然，cotA + cotC=2cotB，
所以，得证cotA, cotB, cotC依次也成等差数列。