Question

设P是三角形ABC所在平面外一点，P到A，B，C的距离相等

设P是三角形ABC所在平面外一点，P到A，B，C的距离相等，角BAC为直角
求证：平面PCB⊥平面ABC

Answer 1

过P作PQ⊥面ABC于Q，则Q为P在面ABC的投影，因为P到A，B，C的距离相等，所以有QA=QB=QC，即Q为三角形ABC的中心，因为角BAC为直，所以Q在线段BC上，所以在面PCB上有线段PQ⊥平面ABC，故平面PCB⊥平面ABC

Answer 2

取BC的中点D，连接PD,AD,因为P到A，B，C的距离相等，则有PB=PC=PA,所以PD垂直BC,角BAC为直角，所以BC垂直AD,所以直线BC垂直于面PAD,又因为直线BC属于面ABC，所以面PCB垂直于面ABC.

Answer 3

很简单，你先过P作ABC垂线PO，然后根据P到A、B,C距离相等，可证明O为三角形ABC的内心，所以O在BC上，即PO垂直BC．命题得证！