Question

容斥原理一个题目

某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？

此题为容斥原理问题。先将参加三种考试的人次相加，即63+89+47=199人次。其中选择两种考试都参加的有46人，这46人被多算了1次；三种考试都准备参加的有24人，这24人被多算了2次，再加上没有参加任何考试的15人，故接受调查的学生数为199-46-24×2+15=120（人）。故应选择A选项。

不明白为什么46被多加了1次，24被多加了2次？
如果按数学推理的话，A+B+C=(A+B)+(B+C)+(A+C)-(A+B+C)啊，就是说，是多加了1个半啊

Answer 1

你这个不能按数学推理来，得用集合里的韦恩图来表示，用韦恩图很容易理解，我简单的和你说下吧

63个人中参加二门的包括参加注册会计师和四六级的，也包括参加注册会计师和计算几的

89个人中参加二门的包括参加注册会计师和四六级的，也包括参加四六级和计算机的

47个人中参加二门的包括参加计算机和四六级的，也包括参加计算机和注册会计师的

二参加二门的46个人就包括参加注册会计师和四六级的、注册会计师和计算机的、计算机和注册会计师的这三种情况

实际情况中，参加注册会计师和四六级的被加2次，参加注册会计师和计算几的被加二次，参加计算机和四六级的被加2次，合起来就是整体参加二门的被加了二次，实际上也就是一在63+89+47中，这些参加二门的人被计算了二次，实际只需要计算一次，因此要减掉一次

参加三门的也一样，是被重复计算了三次，因此要减掉二次

 可以看下面的图

63+89+47

=区1+区2+区4+区5+区3+区2+区5+区6+区7+区4+区5+区6

=区1+区2+3区+区4+区5+区6+区7+（区2+区4+区6）+2×区5

=总人数+参加二门的人数+2×参加三门的人数

因此总人数=63+89+47-参加二门的人数-2×参加三门的人数

现在明白了吗？下面的图就是韦恩图

Answer 2

第22章-容斥原理-第24讲

Answer 3

根据图http://baike.baidu.com/albums/573741/573741.html#0$e8112b2aa241f7165343c1e9，将对应的人数填进相应的区域，试试能不能得出结论。提示：区域1+区域2区域4+区域5=整个的圆=参加某一门考试的人数。