Question

已知f(x)=x^3+2x^2-ax+1在区间（-1,1）上是单调函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

f'(x)=3x²+4x-a
函数在区间(-1，1)上是单调函数，则x∈(-1，1)时，
3x²+4x-a≥0或3x²+4x-a≤0
令g(x)=3x²+4x-a
g(x)=3(x+2/3)²-a-4/3
顶点(-2/3，-a-4/3)横坐标x=-2/3在区间上，当x=-2/3时，g(x)有最小值g(x)min=-a-4/3
(1)
3x²+4x-a≥0时，
-a-4/3≥0
a≤-4/3
(2)
3x²+4x-a≤0时，即g(x)取最大值时，g(x)≤0
令x=-1 g(x)=3-4-a=-1-a≤0 a≥-1
令x=1 g(x)=3+4-a≤0 a≥7
a≥7
综上，得a≤-4/3或a≥7

Answer 2

f'(x)=3x²+4x-a在区间（-1,1）上恒非负，或恒非正
f'(x)=3x²+4x-a
当 x=-2/3时，f'(x)的最小值-a- 4/3
当 x=1时，f'(x)的最大值7-a
(1)f'(x)恒非负，
最小值≥0， -a-4/3≥0, a≤-4/3
(2)f'(x)恒非正，
最大值≤0 7-a≤0 ，a≥7
综上， a≤-4/3 或 a≥7

Answer 3

f(x)=x^3+2x^2-ax+1
f(x)的导数=3x²+4x-a
（-1,1）上是单调函数
f(x)的导数的对称轴为-2/3在（-1,1）之间
如果（-1,1）上是单调增函数 ，△=16+12a<0 a<=-4/3
如果（-1,1）上是单调减函数，x=-1,f(-1)的导数=3-4-a<0 a=>-1
x=1,f(1)的导数=3+4-a<0 a=>7
以上两式取交集 a=>7
综上所述：a>=7或a<=-4/3

Answer 4

f'(x)=3x^2+2x-a
(1) 单增 f'(x)>0 即3x^2+2x-a>0
3*(-1)^2+2*(-1)-a>0 解得 a<1
3*1^2+2*1-a>0 解得a<5
所以 a<1
(2) 单减 f'(x)=3x^2+2x-a<0
3*(-1)^2+2*(-1)-a<0 解得a>1
3*1^2+2*1-a<0 解得a>6
所以a>6
综上：a<1或a>6