Question

线性代数的疑问

书上有一句话：若A,B为同型矩阵，则r(a)=r(b)推出a,b等价
我怎么觉得不太对，如：a=1 1 ,b=0 0,r(a)=r(b)但不等于r(a,b),怎么能推出a,b等价呢?
0 0 1 0
若去掉同型，r(a)=r(b)不一定能推出a,b等价又是为什么呢?

Answer 1

首先，lz是没有搞清楚概念。
矩阵等价的充分必要条件：
A≌B <=> A,B是同型矩阵且有相同的秩
<=> 存在可逆矩阵P,Q，使PAQ=B
判断A,B等价与否跟r(A,B)有什么关系，压根没有关系的事情，只要你判断r(A)=r(B)即可
另外，如果不是同型矩阵，举个例子：
A=1 1 B=1 0
0 0 0 0
0 0
r(A)=r(B)=1，A是2阶矩阵，B是3阶矩阵，能等价吗？
希望帮助到你，望采纳，谢谢~

追问

若是换成向量组，r(a)=r(b)=r(a,b),又是为什么呢？矩阵不就是由各个向量构成的吗？