Question

排序算法问题 已知两个已经排好序的数组， 怎样快速找到这两组数的中位数？

Answer 1

这个比较不好讲清楚，先假设 A 和 B 都是升序的。

这个问题的关键在于给定 k，怎样找到 A 和 B 合并后的第 k 大元素。我们可以这样做：

1. 把 A 平均分为前后两个部分，前部分有 x 个元素，后部分有 n1-x 个元素（由于 A 是有序的，所以后一部分的所有元素大于前一部分）。A[x] = A的后一部分的第一个元素。
2. 同理把 B 也平均分成前后两个部分，前部分有 y 个元素，后部分有 n2-y 个元素。B[y] = B的后一部分的第一个元素。
3. 由于两个数组都是被平均分割的，所以可以近似地认为 x = n1/2, y = n2/2。

这里不妨设 A[x] <= B[y]（如果 A[x] > B[y] 处理过程和下面类似）：

=============================== 情况1 ============================

由于在 A 中，A[x] 前面有 x 个元素，在 B 中，B[y] 前面有 y 个元素，并且又有 A[x] <= B[y]，那么，合并以后，A[x]前面原来那些元素必然也在B[y]前面，也就是说，B[y]前面至少会有 x + y 个元素，我们再规定如果 A, B 中有相同元素，则合并后 A 中的元素排在 B 前面，那么归并以后 A[x] 也会排在 B[y] 前面，于是乎合并之后 B[y] 至少有 x+y+1 个元素。

如果 k <= x+y+1，也就是说，合并后第 k 大的元素必然落在 B[y] 前面。所以，原来在 B 数组中，第二部分（B[y]以及 B[y] 之后）那些元素都不可能包含我们要找到内容（第 k 大元素），所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 B 中一半的内容。

=============================== 情况2 ============================

在 A 中，A[x] 及其后面有 n1-x 个元素，除去 A[x] 之后有 n1-x-1 个元素，B[y] 及其后面有 n2-y 个元素。那么，由于 A[x] <= B[y]，所以合并起来之后，B[y] 后面那些元素必然也在 A[x] 后面，则合并后 A[x] 后面至少有 (n1-x-1) + (n2-y) = (n1+n2)-(x+y+1) 个元素。

如果 k > x+y+1，也就说，合并后第 k 大的元素必然落在 A[x] 后面。所以，原来在 A 数组中，第一部分（A[x]之前）以及 A[x] 都不可能包含我们要找的元素，所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 A 中一半的内容。

============================ 下面是总结 ===========================

综上所诉，对于 k <= x+y+1 还是 k > x+y+1 我们都提出了解决的方案，并且每种方案都能把 A 或者 B 的规模减小一半。减小了一半之后，我们将其作为一个新的问题继续使用上面的算法处理，直到 A 或者 B 减小到足够小：

1. A没有了，这样只需要找出 B 中第 k 大的元素，也就是 B[k].
2. B没有了，同上结果就是 A[k].

达到以上两个条件的任意一个分别只需要 O(logn1) 和 O(logn2) 的时间，所以最坏情况下这个算法只需要 O(logn1 + logn2) 就能得出结果。

============================ 下面是程序 ===========================

以下是基于这个算法的程序，具体实现是在 element_at 这个函数中，通过调用 element_at(0, n1-1, 0, n2-1, k) 可返回 A, B 数组合并后第 k 大的元素。

#include <stdio.h>

int n1, n2;
int A[1000];
int B[1000];

int element_at(int l1, int r1, int l2, int r2, int k) {
int x = (l1 + r1) / 2, y = (l2 + r2) / 2;

if (l1 > r1) return B[l2+k-1];
if (l2 > r2) return A[l1+k-1];

if (A[x] <= B[y]) {
if (k <= (x - l1) + (y - l2) + 1) {
return element_at(l1, r1, l2, y-1, k);
} else {
return element_at(x+1, r1, l2, r2, k-(x-l1)-1);
}
} else {
if (k <= (x - l1) + (y - l2) + 1) {
return element_at(l1, x-1, l2, r2, k);
} else {
return element_at(l1, r1, y+1, r2, k-(y-l2)-1);
}
}

return 0;
}

int main() {
int i;
printf("请输入A的大小：");
scanf("%d", &n1);
printf("请输入%d个数，以空格隔开：",n1);
for (i = 0; i < n1; i++) scanf("%d", &A[i]);

printf("请输入B的大小：");
scanf("%d", &n2);
printf("请输入%d个数，以空格隔开：",n2);
for (i = 0; i < n2; i++) scanf("%d", &B[i]);

if ((n1 + n2) & 1) {
printf("中位数是：%d\n", element_at(0, n1-1, 0, n2-1, (n1+n2)/2+1));
} else {
printf("中位数是：%lf\n", (element_at(0, n1-1, 0, n2-1, (n1+n2)/2) + element_at(0, n1-1, 0, n2-1, (n1+n2)/2+1)) / 2.0);
}

return 0;
}

Answer 2

假设两个数组叫A 和B，合并后数组叫C
1）merge sort A, B -->C
2) K_lement(C)
搞定