Question

己知函数F(X)=AX-2分之3X方的最大值不大于6分之1，又当X属于[1/4,1/2】时，

F(X)大于等于1/8.（1）求A的值(2)设0小于A1小于1/2，A（N+1)=F(AN),N属于N*，求证AN小于1/（N+1）。

Answer 1

F(x)=Ax-3x²/2=(-3/2) *(x-A/3)² + A²/6 ≤ A²/6≤1/6，所以A²≤1，解得-1≤A≤1
F(x)是开口向下的抛物线，顶点坐标为(A/3,A²/6 )
当A/3<1/4 即A<3/4时，即[1/4,1/2]在顶点右侧，单减，故最小值取在F(1/2)=A/2-3/8≥1/8，解得A≥1，与条件冲突，舍去
A/3>1/2 不成立，故[1/4,1/2]不可能在顶点左侧
当1/4≤A/3≤1/2时，若1/4≤A/3≤(1/4+1/2)/2=3/8，即3/4≤A≤9/8时，1/4距顶点比1/2距顶点更近，那么最小值取在F(1/2)A/2-3/8≥1/8，解得A≥1，故解集为1≤A≤9/8；若3/8<A≤1/2时，最小值取在F(1/4)=A/4-3/32≥1/8，解得A≥7/8，冲突，无解
所以能满足x∈[1/4,1/2]，F(x)≥1/8的A的范围是1≤A≤9/8，再和-1≤A≤1取交集，解得A=1
F(x)=x-3x²/2

(2)用数学归纳法证明。
当n=1时，A1<1/(1+1)=1/2成立，
设当n=k时成立，k为正整数，即A[k]<1/(k+1)成立，
当n=k+1时，
A[k+1]= F(A[k])=A[k] - 3A[k]²/2=-(-3/2) *(A[k]-1/3)² + 1/6
当1/(k+1)≤1/3时，即k≥2,时，1/(k+1)在抛物线顶点左侧，为单增区间，
所以A[k+1]=F(A[k])<F(1/(k+1))=1/(k+1) - 3/2(k+1)² = (2k-1)/2(k+1)²
∵(2k-1)/2(k+1)²<1/(k+2) <=> (2k-1)(k+2)<2(k+1)² <=> 2k²+3k-2<2k²+4k+2 <=> k>-4
由于k为正整数，所以k>-4成立，所以(2k-1)/2(k+1)²<1/(k+2)成立
所以A[k+1]= (2k-1)/2(k+1)² <1/(k+2)成立
即n=k+1时，A[n]<1/(n+1)成立，
所以对n属于N+，A[n]<1/(n+1)成立。

Answer 2

因为f（x）=-3/2x2+ax为开口向下的抛物线，当x=a/3时，函数的最大值为a2/6，由函数的最大值不大于1/6列出不等式为：
a2/6≤1/6，解得-1≤a≤1；
因为当x∈[1/4，1/2]时，f(x)≥18即在此区间f（x）的最小值为1/8，
而即f（1/2）=a2-3/8=1/8解得a=1，f（1/4）=a4-3/32=1/8解得a=15/8＞1舍去．所以a=1．
故答案为1