Question

已知函数f(x),当x,y属于R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)>0,试判断f(x)在（0，正无穷）上的单调性

快快，我急用！！！！！

Answer 1

在（0，+∞）上任取a,b
设a<b
f(x+y)-f(x)=f(y)
所以 f(b)-f(a)=f(b-a)
因为a<b，所以 b-a>0
由已知 f(b-a)>0
所以 f(b)>f(a)
所以 f(x) 在（0，+∞）上为增函数

追问

呃？过程没看懂也@-@

追答

这个不是单调性的定义吗？

追问

f(x+y)-f(x)=f(y)
所以 f(b)-f(a)=f(b-a)
这步是设x+y=b吗？

追答

对设x+y=b，x=a

Answer 2

由f(x+y)=f(x)+f(y)，可以得到：
（1）当x=y=0时，f(0)=0；
（2）当y=-x时，f(0)=f(x)+f(-x)，即f(x)=-f(-x)，所以f(x)为奇函数，那么f(y)=-f(-y)；
（3）当y=-y时，f(x-y)=f(x)+f(-y)（由（2））=f(x)-f(y)。
求f(x)在（0，正无穷）上的单调性，即判断[f(x)-f(y)]/(x-y)的性质。
设x>y>0时，x-y>0,（由当x>0时，f(x)>0），则f(x-y)>0，[由（3）]那么f(x)-f(y)>0。
所以[f(x)-f(y)]/(x-y)>0，即f(x)在（0，正无穷）上的单调性为单调增。