Question

证明：可导的偶函数的导数是奇函数；可导的奇函数是偶函数。

Answer 1

证明：

设函数f(x)为偶函数，且f(x)可导，g(x)=f'(x)。

那么根据偶函数性质可得，f(-x)=f(x)。

分别对f(-x)=f(x)等式两边求导可得，

f'(-x)(-x)'=f'(x)，

即f'(-x)(-1)=f'(x)，

f'(-x)=-f'(x)，

即g(-x)=-g(x)，那么g(x)为奇函数。

即可导的偶函数f(x)的导数是奇函数。

扩展资料：

1、导数的四则运算法则

（1）(u±v)'=u'±v'

（2）(u*v)'=u'*v+u*v'

（3）(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2

2、复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

3、导数的意义

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

4、奇函数和偶函数性质

（1）两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

（2）一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

（3）奇函数图象关于原点(0,0)对称。

（4）奇函数图象关于y轴对称。

参考资料来源：百度百科-导数

参考资料来源：百度百科-奇函数

Answer 2

直接用定义证明即可，答案如图所示

Answer 3

证明：
设可导的偶函数f(x)
则f(-x)=f(x)
两边求导：
f'(-x)(-x)'=f'(x)
即f'(-x)(-1)=f'(x)
f'(-x)=-f'(x)
于是f'(x)是奇函数
即可导的偶函数的导数是奇函数

类似可证可导的奇函数是偶函数

追问

f'(-x)(-x)'=f'(x)
这一步是怎么得到的

追答

此处用复合函数求导法则
因为[f(-x)]'=f'(-x)(-x)',而[f(x)]'=f'(x)
于是f(-x)=f(x)两边求导得f'(-x)(-x)'=f'(x)