Question

在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E、F分别是AB和AA'的中点

求证：（1）E、F、D’、C四点共面 （2）CE、D‘F、DA三线共点
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Answer 1

1.连A'B
则A'B∥D'C
∵E是AB 中点 F是AA'中点
∴EF∥BA'
∴EF∥CD'
∴E F D' C四点共面
2.2.作CD中点E'，DD'中点F'
连AE' AF'
可证AE'∥EC AF'∥FD'并且两对平行线等距
又E'A F'A DA三线共点
∴CE D'F DA三线共点

Answer 2

证明：连接A'B ∵B B'⊥平面ABCD, EF⊂平面ABCD
∴EF⊥B B'
∵四边形ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中点
∴AC⊥BD,EF∥AC
∴EF⊥BD
∵EF⊥BB', EF⊥BD, BB'⊂平面BB'DD',BD⊂平面BB'DD', BB'与BD相交于B点
∴EF⊥平面BB'DD'
∵B'D⊂平面BB'DD'
∴B'D⊥EF
同理，EG⊥平面A B'C'D, B'D⊥EG
∵B'D⊥EF, B'D⊥EG ,EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG,EF与EG相交于E点
∴B'D垂直于平面EFG 希望能采纳

Answer 3

证明：∵B B'⊥平面ABCD,EF⊂平面ABCD
∴EF⊥B B'
∵四边形ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中点
∴AC⊥BD,EF∥AC
∴EF⊥BD
∵EF⊥BB', EF⊥BD, BB'⊂平面BB'DD',BD⊂平面BB'DD', BB'与BD相交于B点
∴EF⊥平面BB'DD'
∵B'D⊂平面BB'DD'
∴B'D⊥EF
同理，EG⊥平面A B'C'D, B'D⊥EG
∵B'D⊥EF, B'D⊥EG ,EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG,EF与EG相交于E点
∴B'D垂直于平面EFG