Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为根号2，

倾斜角为45度地直线l过点F
（1）求该椭圆的方程（2）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2=4x上是否存在一点M，是的M与F1关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由
求详解~~~谢谢~~~在线等~

Answer 1

（I）抛物线x2＝4
2
y的焦点坐标为（0，
2
），可得椭圆的上顶点为（0，
2
），得b=
2

∵椭圆的离心率e＝

3

3
，得
c
a
=

3

3
，解得a=
3
，c=1
∴椭圆C的方程是
x2
3
+
y2
2
＝1
（II）由（I）得椭圆C的右焦点为F2（1，0）
①当直线l与x轴垂直时，直线l斜率不存在，此时M（1，
2
3
3
），N（1，-
2
3
3
）
∴

OM
•

ON
=1×1+
2
3
3
×（-
2
3
3
）=-
1
3
，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线方程l：y=k（x-1），且M（x1，y1），N（x2，y2）
由

x2
3
+
y2
2
＝1

y＝k(x−1)

，得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0
x1+x2=
6k2
2+3k 2
，x1•x2=
3k2−6
2+3k2

∴

OM
•

ON
=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k2[x1•x2-（x1+x2）+1]=（1+k2）x1•x2-k2（x1+x2）+k2=-1
即（1+k2）•
3k2−6
2+3k2
-k2•
6k2
2+3k 2
+k2=-1
解之得k=±
2
，故直线l的方程是y=
2
（x-1）或y=-
2
（x-1）．
（III）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（II）得|MN|=
(x1−x2)2+(y1−y2)2
=
1+k2
|x1-x2|
=
(1+k2)[(x1+x2)2−4x 1x2]
=
(1+k2)[(
6k2
2+3k 2
)2−4×
3k2−6
2+3k2
]

=
4
3
(k2+1)

2+3k2

由

x2
3
+
y2
2
＝1

y＝kx

消去y，整理得x2＝
6
2+3k 2

∴|AB|=
(x3−x4)2+(y3−y4)2
=
1+k2
|x3-x4|=2

6(k2+1)
2+3k2

∴

3
|AB|2

|MN|
=

24
3
(k2+1)

2+3k2

4
3
(k2+1)

2+3k2

=6．

Answer 2

抛物线y 2;=4√3x的焦点为（√3，0）所以椭圆c=√3如果构成的是直角三角形那么椭圆中有b=c，因为有c=1/2×2b=b 所以b=√3 a 2;=b 2; c