Question

cosA+cosB+cosC=0,sinA+sinB+sinC=0,求证:sinA+sinB+sinC=sin(A+B+C)

不好意思 把题目搞错了 所以没做出来 呵呵
题目后面部分是sin3A+sin3B+sin3C=3sin(A+B+C)

Answer 1

cosA+cosB=-cosC
sinA+sinB=-sinC
两个等式平方再相加得
2(cosAcosB+sinAsinB)=-1
cos(A-B)=-1/2
同理cos(B-C)=-1/2;cos(C-A)=-1/2;
cos(A-B)-cos(B-C)=-2sin((A-C)/2)sin((A+C)/2-B)=-1/2-(-1/2)=0
所以
(A-C)/2=kπ或(A+C)/2-B=kπ
若(A-C)/2=kπ
A=C+2kπ
cosB=-2cosC
sinB=-2sinC
两边平方相加得
1=4，矛盾
所以，(A+C)/2-B=kπ
由cos(B-C)=-1/2；cos(B-A)=-1/2
得A=B+2k‘π+2/3π或A=B+2k’π+4/3π
C=B+2k’‘π+2/3π或C=B+2k’‘π+4/3π
而再由(A+C)/2-B=kπ
A=B+2k‘π+2/3π且C=B+2k’‘π+4/3π
或C=B+2k‘π+2/3π且A=B+2k’‘π+4/3π
所以这道题的等式不成立
如B=10° A=130° C=250°
cosA+cosB+cosC=0,
sinA+sinB+sinC=0
sin(A+B+C)=sin(30°)=1/2 不等于sinA+sinB+sinC