Question

已知A是3阶矩阵，|A|>0,A*=﹛1 -1 -4﹜，且ABA-¹=BA-¹+3E,求矩阵B.

Answer 1

解: 由 |A*| = 4 = |A|^2, |A|>0
所以 |A| = 2.

由 AA* = A*A = |A|E = 2E
在等式 ABA^-1=BA^-1+3E 两边左乘 A*, 右乘A, 得
A*ABA^-1A=A*BA^-1A+3A*A
所以 2B = A*B+6E
所以 (2E-A*)B = 6E
所以 B = 6(2E-A*)^-1

2E-A* = diag(1,3,6)
(2E-A*)^-1 = diag(1,1/3,1/6)
B = 6(2E-A*)^-1 = diag(6,2,1)

Answer 2

|A|>0说明A是三阶可逆矩阵。那么A*也是三阶阵，你给的A*=﹛1 -1 -4﹜不久与你说的矛盾了吗，请看清题目看有无打错

Answer 3

ABA∧－1=BA^-1+3E，右乘A: AB＝B+3A （A-E）B＝3A,

B＝3[（A-E）^-1]A

A*→|A*|＝|A|³,A*＝|A|[A^-1]→[A^-1]→A→B

Answer 4

AA*=A*A=|A|E

ABA-¹A=BA-¹A+3A
AB=B+3A
A*AB=A*B+3A*A
|A|B=A*B+3|A|E
(|A|E-A*)B=3|A|E
B=3|A|(|A|E-A*)-¹