Question

已知ab是关于的方程x2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是？

Answer 1

已知ab是关于的方程x2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根
则由韦达定理a+b=2k+1 ab=k(k+1)
所以a²+b²=(a+b)²-2ab
=(2k+1)²-2k(k+1)
=2k²+2k+1
=2(k+1/2)²+1/2≥1/2
所以最小值为1/2

Answer 2

根据a2+b2=（a+b）2-2ab=（2k+1）2-2k（k+1），根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于k的代数式，转化为求代数式的最小值问题．
解：由题意知，a+b=2k+1，ab=k（k+1）
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（2k+1）2-2k（k+1）=2（k- 12）2+ 12
∴a2+b2的最小值是 1/2

Answer 3

由题意知，a+b=2k+1，ab=k（k+1）
所以 a^2+b^2=（a+b）^2-2ab=（2k+1）^2 - 2k（k+1）= 2（k+1/2)^2+ 1/2
又△=（2k+1）^2 - 4k（k+1）=1>0 对任意k成立
∴当k=-1/2时，a2+b2的最小值是1/2

Answer 4

解答：由韦达定理得：①a＋b=2k＋1，②ab=k﹙k＋1﹚，且：判别式Δ=﹙2k＋1﹚²－4k﹙k＋1﹚=1＞0，∴a²＋b²=﹙a＋b﹚²－2ab=﹙2k＋1﹚²－2k﹙k＋1﹚=2k²＋2k＋1=2﹙k²＋k＋¼－¼﹚＋1=2﹙k＋½﹚²＋½，∵﹙k＋½﹚≥0，∴a²＋b²的最小值=½

Answer 5

由韦达定理得：
a+b=2k+1. (1)
ab=k(k+1) (2)
(1)^2-2*(2): a^2+b^2=(2k+1)^2-2k(k+1).
a^1+b^2=4k^2+4k+1-2k^2-2k.
=2k^2+2x+1.
=2(k+1/2)^2-2+1.
=2(k+1/2)^2-1/2+1
=2(k+1/2)^2+1/2..
∵(k+1/2)^2>0， ∴当k=-1/2时，原式具有最小值，且(a^2+b^2)min=1/2.