Question

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4,点E、F分别为BC,CD的中点，点G在棱CC1上（Ⅰ）是否存在G,使A1G

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4,点E、F分别为BC,CD的中点，点G在棱CC1上（Ⅰ）是否存在G,使A1G⊥平面EFG，若存在求出CG；（Ⅱ）若二面角A1-FG-E的余弦值为零，求三棱锥G-CEF的体积

Answer 1

1、要A1G⊥平面EFG，则A1G⊥EG，A1G⊥FG，根据勾股定理，A1G^2+EG^2=A1E^2,

A1G^2+FG^2=A1F^2,

设CG=x,

AE=√5，A1E^2=AE^2+AA1^2=AB^2+BE^2+AA1^2=21，

A1G^2=A1C1^2+C1G^2=8+(4-x)^2,

EG^2=CG^2+CE^2=x^2+1

8+(4-x)^2+x ^2+1=21,

x^2-4x+2=0,

∴x=2±√2，

即G有两点，CG=2±√2。

2、若二面角A1-FG-E的余弦值为零，则两平面相垂直，则A1G⊥平面EFG，

由上所述CG=2±√2，

S△EFC=S△CBD/4=（2*2/2）/4=1/2，

∴VG-CEF=S△EFC*CG/3=（1/2）*（2±√2）/3=（2±√2）/6。