Question

高一数学：函数的概念：值域

求下列函数值域
（1）.y=x²-4x+6,x∈[1，5）
（2）.y=2-根号下（-x²+4x）
（3）.y=1/（1+x²）
（4）.y=x+根号下（1-2x）

Answer 1

1.
y=x²-4x+6=x²-4x+4+2=(x-2)²+2
顶点x=2在区间上，当x=2时，函数有最小值ymin=2
令x=1 y=1-4+6=3
令x=5 y=25-20+6=11
函数的值域为[2，11)
2.
y=2-√(-x²+4x)
平方项恒非负，√(-x²+4x)≥0
y=2-√(-x²+4x)≤2-0=2
函数的值域为(-∞，2]
3.
y=1/(1+x²)
平方项恒非负，x²≥0 1+x²≥1
0<1/(1+x²)≤1
函数的值域为(0，1]
4.
y=x+√(1-2x)
=(-1/2)(1-2x)+√(1-2x)+1/2
=(-1/2)[√(1-2x)-1]²+1
√(1-2x)恒非负，当√(1-2x)=1时，即x=0时，函数有最大值ymax=1
函数的值域为(-∞，1]

Answer 2

（1）.y=x²-4x+6,x∈[1，5）
y=(x-2)²+2
y最小=2 y最大=(5-2)²+2=11
所以值域为[2, 11]
（2）.y=2-根号下（-x²+4x）
y=2-√[4-(x-2)²]
y最大=2 y最小=2-2=0
所以值域为[0,2]
（3）.y=1/（1+x²）
y最大=1
当x趋近于无穷大时，y趋近于0
所以值域为(0, 1]
（4）.y=x+根号下（1-2x）
设1-2x=t² 则x=(1-t²)/2
所以y=(1-t²)/2+t=(1/2)(-t²+2t+1)
=(1/2)[-(t-1)²+2]
y最大=1 t趋近于无穷大，y趋近于-无穷
所以值域为(-∞, 1]

Answer 3

1楼回答很好，就是第2题错了。
令t=-x^2+4x
由于t需要开平方，所以，t>=0，
又t=-(x-2)^2+4<=4
所以，0<=t<=4，0<=2-√t<=2，
即函数值域是：[0，2]。

Answer 4

(1)[2,11)
(2)[0,2]
(3)(0,1]
(4)(负无穷，1]