Question

第二类曲面积分问题！高手指教！

求∫∫ydzdx,其中∑：Z=X²+Y² 0≦Z≦1. 取下侧
解答如下∫∫ydzdx=2∫∫（z-x²）½dzdx，
问题来了，∑关于X,Z平面堆成，正常算法是∫∫ydzdx=∫∫（z-x²）½dzdx+∫∫-（z-x²）½dzdx，为什么∫∫ydzdx=2∫∫（z-x²）½dzdx？ y轴负方向看去在XZ平面上的积分顺序是1到-1吗？为什么？，请问这种对称的曲面积分如果分解开算得话两侧的积分上下限顺序是怎么定的？
第二类曲面积分是否没有奇偶性？高手指教啊！

Answer 1

解：∵旋转抛物面z=x²+y²(0≤z≤1)被xz平面分成上下两部分。
∴设上部分曲面为S1：y=√(z-x²)；下部分曲面为S2：y=-√(z-x²)。
投影区域为Dxz：z=x²与z=1在xz平面所围成的区域。
故∫∫<∑>ydzdx=∫∫<S1>ydzdx+∫∫<S2>ydzdx
=∫∫<Dxz>√(z-x²)dzdx-∫∫<Dxz>[-√(z-x²)]dzdx (S1每点的法线正向与y轴正向的交角是锐角，则投影到xz平面面积元dxdz取正值dxdz。S2每点的法线正向与y轴正向的交角是钝角，则投影到xz平面面积元dxdz取负值-dxdz。)
=∫∫<Dxz>√(z-x²)dzdx+∫∫<Dxz>√(z-x²)dzdx
=2∫∫<Dxz>√(z-x²)dzdx
=2∫<-1,1>dx∫<x²,1>√(z-x²)dz
=2∫<-1,1>[(2/3)(1-x²)^(3/2)]dx
=(4/3)∫<-1,1>[(1-x²)^(3/2)]dx
=(4/3)∫<-π/2,π/2>(cos²t)²dt (令x=sint)
=(4/3)∫<-π/2,π/2>[1/8+cos(2t)/4+cos(4t)/8]dt (应用余弦倍角公式)
=(4/3)[t/8+sin(2t)/8+sin(4t)/32]│<-π/2,π/2>
=(4/3)[π/2-(-π/2)]/8
=(4/3)(π/8)
=π/6。

Answer 2

面的方向的定义：面取外侧，法向量取外向，积分为正；面取外侧，法向量取问题没看太明白。如果楼主指的是m1这个面，由于高斯公式要求是封闭曲面，所以

追问

∫∫ydzdx 在XZ平面上有两个投影， 一个是从Y正向XZ平面的投影，一个是从负YXZ平面的投影，所以∫∫ydzdx=∫∫（z-x²）½dzdx+∫∫-（z-x²）½dzdx，解答：∫∫ydzdx=2∫∫（z-x²）½dzdx，那应该是∫∫-（z-x²）½dzdx 这项的x上下限积分次序是1到-1，∫∫（z-x²）½dzdx的x积分次序是-1到1，那我想问 为什么∫∫-（z-x²）½dzdx 的X的积分次序是1到-1呢？