Question

设分段函数f（x）=（x-1）^2，当x≤1；1/1-x,当x＞1.求f（f（x））的表达式？

Answer 1

这是一个分段函数，所以求解析式必须要考虑到对于外层函数而言的定义域问题，而外层函数的定义域，即为内层函数(f(x))的值域，所以本题上来需要先考虑这个问题
很显然当x＞1时，f(x)=1/1-x＜0，此时f(x)必然≤1，
∴我们只需要讨论当f(x)=(x-1)²≤1，并且x≤1的时候的问题，这个部分是本题的关键
解得0≤x≤1，
本题f(f(x))的表达式分为三段，
当x＞1时，f(x)=1/(1-x)＜0，此时f(f(x))=(1/(1-x)-1)²=（x/1-x)²
当0≤x≤1时，f(x)=(x-1)²≤1，此时f(f(x))=((x-1)²-1)²=(x²-2x)²
当x＜0时，f(x)=（x-1)²，此时f(f(x)=1/(1-(x-1)²)=1/(2x-x²)

Answer 2

f（x）={（x-1）^2，当x≤1；
{1/（1-x）,当x＞1.
x>1时1/（1-x)<0,
0<=x<=1时（x-1)^2∈[0,1];x<0时（x-1)^2>1.
∴f（f（x））={[1/(1-x)-1]^2=[x/(1-x)]^2,x>1;
{[(x-1)^2-1]^2=(x^2-2x)^2,0<=x<=1;
{1/[1-(x-1)^2]=1/(2x-x^2),x<0.

Answer 3

当x＞1，1/（1-x）=-1/（x-1)<0,----f（f（x））=[-1/（x-1) -1]^2=(x/ x-1）^2
当x≤1，（x-1）^2>1得x<0,x>2(不符x≤1，舍去），
x<0,f（f（x））=1/[1-（x-1）^2]=1/x(2-x)
0<=x<=1,f（f（x））=[（x-1）^2-1]^2=x^2 *(x-2)^2