若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在x=正负1处取得极值,且在x=0处的切线斜率为-3,求若过点A(2,m)可做曲线y=f(x)

若过点A(2,m)可做曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围... 若过点A(2,m)可做曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围 展开
买昭懿007
2011-09-29 · 知道合伙人教育行家
买昭懿007
知道合伙人教育行家
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毕业于山东工业大学机械制造专业 先后从事工模具制作、设备大修、设备安装、生产调度等工作

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f(x)=ax^3+bx^2+cx
f‘(x) = 3ax^2+2bx+c
在x=正负1处取得极值:
f'(1)=0,f'(-1)=0
3a+2b+c=0
3a-2b+c=0
解得b=0,c=-3a
f(x) = ax^3 - 3ax
f‘(x) = 3ax^2 - 3a

在x=0处的切线斜率为-3
f'(0) = -3
-3a=-3
a=1
f(x) = x^3 - 3x
f‘(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)

x<-1时,f(x)单调增;-1<x<1时,单调减;x>1时单调增
又:f''(x)=6x
f''(0)=0,x=0为拐点
x<0时,f''(x)<0,上凸;
x>0时,f''(x)>0,下凹
x=2在f(x(的下凹段
所以点A(2,m)b必须在点f(2)下方时才能做f(x)的三条切线
即m<f(2)=2^3-3*2=2
∴m∈(-∞,2)
liuhuanwei1984
2012-04-20 · TA获得超过1.3万个赞
知道小有建树答主
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解:(Ⅰ)f'(x)=3ax2+2bx+c
依题意{f′(1)=3a+2b+c=0f′(-1)=3a-2b+c=0⇒{b=03a+c=0
又f'(0)=-3∴c=-3∴a=1∴f(x)=x3-3x
(Ⅱ)设切点为(x0,x03-3x0),
∵f'(x)=3x2-3∴f'(x0)=3x02-3
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切线过点A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
则g'(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g'(x)=0得x=0或x=2g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2
画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范围是(-6,2).
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