Question

已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且满足f(x+2)=-1/f(x),当2 ≤x ≤3时，f(x)=x则f(101/2)=

Answer 1

由题意，f(x+2)不为0.所以，f(x）=-1/f(x+2),因为是偶函数，所以f(-x)=f(x),因为f(-x)就是-1/f(-x+2),
所以，-1/f(-x+2) =-1/f(x+2),所以，f(-x+2)=f(x+2),就是说，在2的两边取距离2一样远的点，此二点的函数值相等。例如，x=0.3，则f(1.7)=f(2.3)。于是，此函数（的图像）以直线x=2为对称轴。它又是偶函数，所以，它又以直线x=-2为对称轴。从而，此函数是以4为周期的函数，即f(t)=f(t+4).
于是，只要把50.5的函数值，努力扭转为区间【2,3】之间的某个数的函数值就可以了。
50.5等于4乘以12，再加上2.5，所以f(50.5)=f(4×12＋2.5)＝f(2.5)＝2.5，答：2.5。（这是由题意f(x)=x得到的）。注：这种【周期】性的东西我们不少见：10月1日星期6；10月（1+3个7）日即10月22日还是星期6。因为7是一个【周期】呀。

Answer 2

f(x+2)=-1/f(x), f(x-2)=-1/f(x), => f(x+2)=f(x-2), f(x)为周期T=4的周期函数.
当2 ≤x ≤3时，f(x)=x => f(5/2) = 5/2
f(101/2) = f (1/2) = -1/ f(5/2) = - 2/5

追问

答案上是5/2啊

追答

题目中的条件矛盾。
例如 f(x+2)= -1/f(x) => f(1) = - 1/ f(-1) => f(1) ≠ f(-1) !

Answer 3

∵f(x+2+2)=-1/f(x+2)=f(x)
∴f(x+4)=f(x)，即T=4
由f(5.5)=f(1.5+4)知f(5.5)=f(1.5)
又∵f(x)是定义域在R上的偶函数
∴f(1.5)=f(-1.5)=f(-1.5+4)=f(2.5)
由题意知当2 ≤x ≤3时，f(x)=x
∴f(2.5)=2.5

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应该很详细了，这道题关键要求出周期解题就很方便了，特殊值的方法也可以考虑，不过有点麻烦。希望对你有帮助。

Answer 4

Tommorrow,I will be drive a car