Question

如图在三角形ABC中，AC=AB，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=1／2∠CAB

（1）求证：直线BF是圆O的切线
（2）若AB=5，sin∠CBF=√5／5。求BC和BF长

Answer 1

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．
解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠EAB,．∠2=∠ABE)
∵AB=AC，
∴∠1= 1/2∠CAB．
∵∠CBF= 1/2∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF= √5/5，∠1=∠CBF，
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1= √5，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2 √5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2√ 5，
∴sin∠2= 2√5/5，cos∠2= √5/5，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3