Question

不定积分∫x(√3-x^2)dx=?

∫x(√3-x^2)dx=?
答案是-1/3（3-x^2)^(3/2)+c
我算出来明明是(x^2)/3(3-x^2)^(3/2)+c
我是哪里做错嘞？

Answer 1

∫ x(√3-x^2)dx = ∫ (3-x^2)^(1/2) * x dx
令 u = 3-x^2, du = - 2x dx 换元法，
原式 = (-1/2) ∫ u^(1/2) du = (-1/2) * (2/3) * u^(3/2) + C
= (-1/3) * (3-x^2)^(3/2) + C
在换元过程中， 不仅被积函数要变化， 积分变量也要用新的变量表示。

追问

原式 = (-1/2) ∫ u^(1/2) du
里 (-1/2)是哪来的？

追答

令 u = 3-x^2, du = - 2x dx
=> x dx = (-1/2) du

Answer 2

∫x(√3-x^2)dx
=1/2∫(√3-x^2)d(x^2) %将x塞进dx里面利用d(x^2)=2xdx
=-1/2∫(√3-x^2)d(3-x^2)
=-1/2*2/3（3-x^2)^(3/2)+c %令t=3-x^2,即-1/2∫(t^1/2)dt=-1/3t^(3/2)+c将t还原就行了！