Question

初2数学题

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由

Answer 1

解：（1）∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接AO并延长交BC于F，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AF是BC的垂直平分线，

∴∠BAF=∠CAF，

∴点O在∠BAC的角平分线上．

Answer 2

证明：（1）、OB=OC 所以∠OBC=∠OCB 又因为CE垂直于AB，BD垂直于AC，在直角三角形BEC和直角三角形BDC中，∠ABC=∠ACB 所以△ABC是等腰三角形
（2）O是在∠BAC的角平分线上 ∠ACO=∠ABO AO=OA（两三角形共边） AB=AC 所以 △AOB全等于△AOC 所以∠BAO=∠CAO 故AO是∠BAC的角平分线

Answer 3

（1）因为∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠BEC=90,∠EBC=90-∠ECB,∠DCB=90-∠DBC,所以∠EBC=∠DCB.所以△ABC是等腰三角形。
（2）连接AO并延长交BC与点F，因为O点为两条高交点，所以O为垂心，即AF垂直于BC，因为△ABC是等腰三角形，所以AF为∠BAC的角平分线，所以O在∠BAC的角平分线上

Answer 4

1.OB=OC得∠OBC=∠OCB
且O是△ABC的垂心,得RT△BDC与RT△CEB为相似三角形
则得∠B=∠C
所以△ABC是等腰三角形
2.点O是在∠BAC的角平分线上
在三角形△AOB与△AOC中
又因∠B=∠C得AB=AC且OB=OC，AO为公共边
可知∠AOB=∠AOC，所以点O是在∠BAC的角平分线上

Answer 5

（1）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）连接AO并延长交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．