Question

已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3

(1)求f(x)的解析式。
(2)若f(x)在区间【2a,a+1】上单调，求实数a的取值范围。

Answer 1

：∵f(x)为二次函数
f(0)=f(2)=3
∴对称轴为x=(0+2)/2=1
∵二次函数f(x)的最小值为1
∴设f(x)=a(x-1)²+1,a＞0
∵f(0)=3
∴a+1=3,a=2
∴f(x)=2(x-1)²+1
=2x²－4x+3
(2) f(x)在区间[2a，a+1]上不单调，则由二次函数图象性质，对称轴在所给区间内，∴ 2a<1, a+1>1
即 0<a<1/2

Answer 2

⑴ f(x)＝ax²+bx+c
f(0)=f(2)=3 c＝3 4a+2b+3＝3 a＝-b/2
f(x)的最小值为1 a﹙b²/4a²﹚-b²/2a+3＝1 a＝b²/8
得到b＝-4。a＝2
f(x)＝2x²-4x+3
⑵ 若f(x)在区间【2a,a+1】上单调，
a+1＞2a, a＜1
注意f﹙1﹚＝1是最小值
或者2a≥1,a≥1/2. 与a＜1矛盾。不可。
或者a+1≤1,a≤0，实数a的取值范围是a≤0