Question

如图,三角形ABC内接于圆O,角ABC的平分线交BC于D,交圆O于E，圆O的切线BF交AE延长线于F，过E作EH垂直BF，

垂足为H。求证：（1）BE平分角CBF，（2）BC=2BH

Answer 1

(1)
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE
又因为BF为圆O过圆上B点的切线，所以∠FBE=∠BAE
而∠CBE=∠CAE（同弧上的圆周角相等），
所以∠FBE=∠CBE, BE平分角CBF
(2)连接CE，因BF为圆O切线，所以∠FBE=∠BCE
由（1）已证明BE平分角CBF，∠FBE=∠CBE
所以∠BCE=∠CBE, 故△BEC为等腰三角形
过E点做BC的垂线，垂足为M，则BM=MC=1/2BC
因为EH⊥BF，所以EH=EM, 而BE为公共边，所以RT△BHE≌RT△BNE，BH=BM=1/2BC
所以BC=2BH

Answer 2

证明:
(1)连接BE.BF与圆相切,则∠FBE=∠BAE;
又∠CBE=∠CAE=∠BAE.
故∠CBE=∠FBE,即BE平分角CBF.
(2)∠BAE=∠CAE,则弧BE=弧CE,得BE=CE.
作EM垂直BC于M,则:BM=MC,BC=2BM.
又EH垂直BF,BE平分角CBF,则:EH=EM;
又BE=BE,故Rt⊿EBH≌Rt⊿EBM(HL),得:BH=BM.
所以,BC=2BH.