Question

已知函数f（x）=1/1+x2 (1)判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论 求出函数f（x）在【-】

已知函数f（x）=1/1+x2
(1)判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论
（2）求出函数f（x）在【-3，-1】上的最大值与最小值

Answer 1

（1）函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。）
证明：
设X1<X2<0,则
f(X1)-f(X2)=1/(1+X1^2)-1/(1+X2^2)=(X2^2-X1^2)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]
=(X2-X1)(X2+X1)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]
∵X1^2>0,X2^2>0 ∴[(1+X1^2)(1+X2^2)]>0
又∵X1<X2<0 ∴X2-X1>0 X2+X1<0 ∴(X2-X1)(X2+X1)<0
∴f(X1)-f(X2)=(X2-X1)(X2+X1)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]<0
即f(X1)<f(X2)
∴函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。

（2）因为函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。
所以函数f（x）在【-3，-1】上也是单调递增的。
即 当x=-3时，函数取到最小值f(-3)=1/10.

Answer 2

(1)函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。
【证明】
设X1<X2<0,则
f(X1)-f(X2)=1/(1+X1^2)-1/(1+X2^2)=(X2^2-X1^2)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]
=(X2-X1)(X2+X1)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]
∵X1^2>0,X2^2>0 ∴[(1+X1^2)(1+X2^2)]>0
∵X1<X2<0 ∴X2-X1>0 X2+X1<0 ∴(X2-X1)(X2+X1)<0
∴f(X1)-f(X2)=(X2-X1)(X2+X1)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]<0
即f(X1)<f(X2)
∴函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。

(2) 因为函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。
所以函数f（x）在【-3，-1】上也是单调递增的。
∴当x=-3时，函数取到最小值f(-3)=1/10.
当x=-1时，函数取到最大值f(-1)=1/2.

Answer 3

（1）函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。）
证明：
设X1<X2<0,则
f(X1)-f(X2)=1/(1+X1^2)-1/(1+X2^2)=(X2^2-X1^2)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]
=(X2-X1)(X2+X1)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]
∵X1^2>0,X2^2>0 ∴[(1+X1^2)(1+X2^2)]>0
又∵X1<X2<0 ∴X2-X1>0 X2+X1<0 ∴(X2-X1)(X2+X1)<0
∴f(X1)-f(X2)=(X2-X1)(X2+X1)/[(1+X1^2)(1+X2^2)]<0
即f(X1)<f(X2)
∴函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。

（2）因为函数f(x)=1∕(1+x^2)在(-∞，0)上单调递增。
所以函数f（x）在【-3，-1】上也是单调递增的。
即 当x=-3时，函数取到最小值f(-3)=1/10.
当x=-1时，函数取到最大值f(-1)=1/2.

过程答案已写，望采纳，谢谢！

Answer 4

aKf