Question

高中数学——设f（x）是定义在【-1，1】上的奇函数，对任意a、b属于【-1，1】…

设f（x）是定义在【-1，1】上的奇函数，对任意a、b属于【-1，1】，当a+b≠0时，都有【f(a)+f(b)】/（a+b）＞0

（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小。
（2）解不等式f（x-1/2）＜f（2x-1/4）...

另外通过奇偶性不可以证单调性的对吗？
如果一个函数全是高次奇数幂，如f（x）=x的七次方+bx的五次方+cx的三次方…定义域为R，则它一定是个奇函数吗？

求解。

Answer 1

解：因为【f(a)+f(b)】/（a+b）＞0,所以将b换为-b则式子变为【f(a)+f(-b)】/（a+（-b））＞0

，又因为其实奇函数，所以-f(b)=f(-b),所以式子变为【f(a)-f(b)】/（a-b）＞0,又因为a>b即a-b>0,所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b)

由上可知函数是增函数，所以解不等式如下，x同时满足：x-1/2<2x-1/4,-1<=x<=1(特别注意这个，因为题目规定了函数是在-1至1上的基函数的），解得-1/4<x<=1
至于下个问题，我想只要记住奇函数满足f(x)=-f(-x),用这个去验证是否为奇函数较为妥当，不一定非得记这么一个结论如f（x）=x的七次方+bx的五次方+cx,那么f(-x)=-x的七次方-bx的五次方-cx,很容易看出两者是不是相反数，从而得出是奇函数的结论

Answer 2

(1)
因为a>b所以a-b=a+(-b)>0
因为【f(a)+f(-b)】/（a-b）＞0
所以 f(a)+f(-b)>0
因为f(x)是奇函数所以 f(-b)=-f(b)
所以 f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)>0
所以 f(a)>f(b)
(2)
又（1）可知f(x)为增函数
要使f（x-1/2）＜f（2x-1/4）成立
只需 -1<x-1/2<1 且 -1<2x-1/4<1 且 x-1/2<2x-1/4
解得 -1/4<x<5/8

Answer 3

(1)(2)已有解答，关于后面，奇偶性反映的是一种对称性，而单调性强调的是函数图象的走势，即函数值的变化，二者不存在逻辑上的关联。但是如果已知函数某区间的单调性及其奇偶性，可以利用对称性简单解决另外区间的单调性，但这中间的桥梁是对称性，并不是奇偶性可以证单调性；而f(x)=x^7+bx^5=cx^3,有f(-x)=(-x)^7+(-x)^5+(-x)^3=-[x^7+bx^5+cx^3]=-f(x),奇函数