Question

若A^2=A,则A的特征值能是0或1？这是为啥？

若A^2=A,则A的特征值能是0或1？这是为啥？

Answer 1

A^2=A就是说A^2与A是同一个数（即数值相等，符号相同）
所以A^2=A这个等式的解只能是0或者1。
例：如果A=-1，则A^2=1 而A=-1 1≠-1

追问

A是矩阵啦
但还是谢谢你啦；

追答

A=A²
A-A²=0
A(E-A)=0
取行列式
|A(E-A)|=0
即|A||E-A|=0
则|A|=0或者|E-A|=0
|A|=0则0是A的特征值
|E-A|=0则根据特征值的解法，1是A的特征值
故A的特征值为0或1

虽然不知道是什么意思，送你个答案好了，不知道有没有用、

追问

电灯剑客已解答我了
但还是要谢谢你的热心帮忙；
：）

Answer 2

对于A的任何特征值λ，有非零的特征向量x满足Ax=λx
那么0=(A^2-A)x=(λ^2-λ)x
由x非零得到λ^2-λ=0，就这么简单

追问

一、
我写得详点,看看没错吧?
因为A^2-A=0，所以（A^2-A）X=0
又因为（A^2-A）X=A^2 X-AX=AλX-λX=λ^2 X-λX=0;
由x非零得到λ^2-λ=0
即得特征值能是0或1;
二、
这个命题的逆命题应该不成立吧：即，若A的特征值能是0或1，则A^2=A？
谢谢电灯大侠啦，好几次帮忙的~

追答

一 对的
二 对的，逆命题不成立，比如
A=
0 1
0 0

追问

再多问个逻辑问题：
“A的特征值是0或1”，这里指的是A的全部特征值可能全取0，也可能全取1，也可能1和0都取到，有这3种情况；
而我们平时解方程组时，说解为X=0或X=1，表示的却是0和1都取到这一种情况；
同样一个或字，表示的逻辑含意却不同；你怎么看的？
麻烦您了，不好意思；谢谢

追答

这里主要是表述习惯的问题。

比如这个特征值的问题，逻辑上是一个必要条件，
从A^2=A可以推出λ=0或λ=1，对于具体是0还是1没有更多的信息，
换句话说就是“λ只可能是0或1”或者“λ只可能是0和1”，前者和逻辑更符合，但后者一般也是可以用的（因为后者可以看作是λ∈{0,1}的一种简单而不很严谨写法）。

而对于解方程而言，逻辑上通常是一个充要条件，也就是说
f(x)=0 x=0或x=1
同样，这里可以写成"方程f(x)=0的解是x=0或x=1"或者"方程f(x)=0的解是x=0和x=1"，这两种写法也都是可以用的，但是和前面的例子不同的是这里不论哪种写法都暗含了f(x)的解集就是{0,1}的意思。

平时习惯上的讲法确实会有很多不很严谨的地方，但是只要没有歧义就可以看作是一种简写，大家都能看懂就行了，外语里面也经常出现"and/or"这样的写法，因为两种方式都可以扩展成严谨的叙述。

追问

谢谢
http://zhidao.baidu.com/question/325682143.html
你能帮我看看吗？我是向您提问的；