Question

已知函数f（x）=x^2+4x,（x≥0）；4x-x^2,（x＜0）. 若f(2-a)>f(a),则实数a的取值范围是？

注意一下是f（2-a）＞f（a）的情况，不是f（2-a^2）＞f（a）……
希望有详细过程，谢谢

Answer 1

解：由题，f（x）=x^2+4x,（x≥0）；4x-x^2,（x＜0）
可得，f(x)=-f(-x)，
所以f(x)是奇函数，
而 f（x）=x^2+4x,（x≥0）的极值点在x=-2处，
而 f（x）=4x-x^2,（x<0）的极值点在x=2处，
这两点都在其取值范围之外，所以函数在整个区间里呈单调递增，
当f(2-a)>f(a)时，
则有，2-a>a，
即，a<1，
综上所述，实数a的取值范围为：{a|a<1}.

追问

f（x）=x^2+4x,（x≥0）的极值点在x=-2处，
f（x）=4x-x^2,（x<0）的极值点在x=2处，
↑以上两处是指把解析式配方成顶点式而的出来的吗？

追答

不必如此，y=ax^2+bx+c的极值点就在x=-b/(2a)处.

Answer 2

（1）a<0时，则2-a>0，所以f(2-a)=a^2-8a+12，f(a)=-a^2+4a，
所以f(2-a)>f(a)，即a^2-8a+12>-a^2+4a，整理得：a^2-6a+6>0，
得：a>3+√3，或a<3-√3，又因为a<0，
所以：a<0；
（2）0≦a≦2时，2-a>0，所以f(2-a)=a^2-8a+12，f(a)=a^2+4a
所以f(2-a)>f(a)，即a^2-8a+12>a^2+4a，解得：a<1，又因为0≦a<2，
所以：0≦a<1；
（3）a>2时，则2-a<0，所以f(2-a)=-a^2+4，f(a)=a^2+4a；
所以f(2-a)>f(a)，即-a^2+4>a^2+4a，整理得：2a^2+4a-4<0，
解得：-1-√3<a<-1+√3，又因为a>2，而-1+√3约等于0.732
所以：a属于空集；
综上：实数a的取值范围是：a<1

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 3

作出y=x²+4x的图象，截取x≥0的部分
现作出y=-x²+4x的图象，截取x<0的部分
两段图象合起来就是f(x)的图象，由图象可知f(x)是增函数
因f(2-a)＞f(a)
故2-a>a 解得a<1

Answer 4

这是个分段函数，可以先分段把函数图象画出来。看似复杂，画完后就能看出f（x）在R上是单增的。所以很容易得到原命题的等价条件：2-a>a，解得a<1.