Question

矩形ABCD中AB=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于E，CF平分∠ACD交AD于F，求四边形AECF的面积

Answer 1

解:作EH垂直AC于H.
AE平行角BAC,则EH=EB;又AE=AE,则Rt⊿AEH≌Rt⊿AEB(HL),得AH=AB=6;
又AB=√(AB^2+BC^2)=10,则CH=AC-AH=4.
设EH=EB=X,则EC=8-X.
EH^2+CH^2=EC^2,即X^2+16=(8-X)^2,X=3.故EC=8-3=5.
所以,四边形AECF的面积为:EC*AB=5*6=30.

Answer 2

AB//DC,∠BAC=∠DCA,[内错角]；
AE平分∠BAC，∠BAE=∠CAE=∠BAC/2,
CF平分∠ACD，∠DCF=∠ACF=∠DCA/2,
∠CAE=∠ACF,
所以AE//FC,[内错角相等],AF//EC,四边形AECF为平行四边形。
作EG垂直于AC，交AC于G,
AC^2=AB^2+BC^2=36+64，
AC=10，
设BE=X,EC=BC-BE=8-X,
∠BAE=∠CAE,∠B=∠EGA=90°,所以∠AEB=∠AEG,
AE=AE,
RT三角形ABE≌RT三角形AGE,[ASA],
GE=BE=X,AG=AB=6，GC=1C-AG=10-6=4，
GE^2=EC^2-GC^2
X^2=(8-X)^2-16，
16X=48，
X=3，
EC=8-3=5,
S平行四边形AECF=EC*AB=5*6=30.

Answer 3

解：作EG⊥AD FH⊥BC
∵矩形ABCD
∴AB=DC AD=BC ∠B=∠D=90°
∵AE平分∠BAE EB⊥AB EG⊥AD
∴EG=BE
同理可证FH=DF
由图可得EG=AB==FH=DC=6
∴DF=BE=FH=EG=6
∴S四边形AECF=S矩形ABCD-S△ABE-S△CDF=AB*BC-AB*BE/2-CD*DF/2=6*8-6*6/2-6*6/2=48-18-18=12