Question

已知函数f( x）的定义域是（0，+∞），且满足f( xy）=f( x）+f( y），f( 1/2)=1,如果对于0<x<y,都有

f（ x）>f( y）问：
解不等式f( -x）+f( 3-x）≥-2

Answer 1

根据f(xy)=f(x)+f(y)将f(x-3)+f(x+3)≥-2 化简为f((x-3)(x+3))>=-2且（x-3）>0,（x+3）>0
所以f(x^2-9)>=-2即f(x^2-9)+2>=0
由于f（1/4)=f(1/2*1/2)=f(1/2)+f(1/2)=1+1=2
所以由f(x^2-9)+2>=0得到f(x^2-9)+f(1/4)>=0再根据f(xy)=f(x)+f(y)得到f((x^2-9)/4)>=0
由于f（1）=f（1*1）=f(1)+f(1),所以f(1)=0,而且由题意知道当x大于0时函数是减函数
所以有f((x^2-9)/4)>=0得到f((x^2-9)/4)>=f（1），所以((x^2-9)/4)<1,且((x^2-9)/4)>0,解这个不等式再加上（x-3）>0,（x+3）>0就可以 了

追问

最后求解是求并集还是交集？

追答

当然是并集了

Answer 2

x=1,y=1, f(1)=0
f(1/2)=1
x=y=1/2, f(1/4)=2
x=1/2, y=1/4, f(1/2)= f(1/4) +f(2),则 f(2)=-1
故， f(2) + f(2) =-2 =f(4)
故 f( -x）+f( 3-x）≥-2 等价于 f( -x）+f( 3-x）≥f(4)
f[(-x)(3-x)] ≥f(4),即 f[x(x-3)] ≥f(4) ....（1）
令f[x(x-3)] <f(4)........(2)
(2)的补集为（1） 的解集。
解（2）为：x(x-3) > 4,即 x >4 或 x < -1
故（1）解集为：-1 ≤x ≤4....（3）
又依题意，函数定义域为（0，+∞），因此需满足 -x >0, 3-x >0,则 x <0....（4）
综上 -1 ≤x <0