Question

数学分析中的大O和小O

我知道小o（）是表示比括号中式子更高阶的无穷小，想请教一下小o的计算规则，如何把式子并入小O内？并入的式子与（）里的式子如何计算处理？我理解大O是表示同阶的函数，这种理解对吗？大O好像还可以与小O进行转化？如果可以的话，应如何转化？

Answer 1

小o是高阶无穷小，大O则是有界量而不是同阶量，先要把定义搞清楚。

具体一点讲，如果给定某个变化趋势x->a，
1.若lim f(x)/g(x)=0，那么记f(x) = o(g(x))；
2.若存在M>0使得|f(x)/g(x)|<=M(只要求在a的某个去心邻域内)，或者说lim sup|f(x)/g(x)|<+oo，那么f(x)=O(g(x))。
还有一些类似的记号，比如
3.若|f(x)/g(x)|>=M>0，那么记f(x)=Ω(g(x))
4.若0<=m<|f(x)/g(x)|<=M，那么记f(x)=Θ(g(x))，这个才是同阶量
5.若lim f(x)/g(x)=1，那么记f(x)～g(x)，即等价量

一般来讲小o记号只对无穷小量使用，大O记号则既用于无穷小量的比较也用于无穷大量的比较。另外要注意变化趋势(比如x->a)只有在不引起误解的情况下才能省略，不要漏掉。

至于运算规则，没必要去归纳总结，碰到具体情况具体分析，如果碰到具体问题不会解决则说明学得很糟糕，这样即使背一些规则也没用。
比如说，o(u)+o(v)=o(|u|+|v|)，o(u)o(v)=o(uv)，这些只是对定义的一层封装，基本没什么价值，如果碰到x->0时的o(x)+o(x^2)，要知道结果是o(x)，而不是很教条地写成o(|x|+|x|^2)。

至于小o和大O之间的转化，从定义出发可以直接得到o(u)=O(u)，但是反过来没有什么万能的结论。在一定的条件下，x->0时o(x^k)可以化到O(x^{k+1})，比如k+1阶可微函数的n阶Maclaurin展开的余项就有这两种形式。不过一般是不成立的，比如x->0时x/lnx=o(x)，但是不能化到o(x^2)。

追问

谢谢解答！但我对大O的含义还是没有完全理解清楚。小o是高阶无穷小，从直观上来讲，就是表示f(x)比g(x)趋近于零的速度更快。那大O的直观意义是什么？我理解大O表示在自变量的某一变化过程中，f(x)与G(x)趋近于某个数的的速度是基本相当的，只相差某常数倍（因为根据定义|f(x)/g(x)|<=M）, 所以我觉得大O里的f(x)和g(x)是同阶的，不会有量级的差别。这种理解是不是不对呢？如果不对，大O的直观意义到底是什么？

追答

谁告诉你|f(x)/g(x)|0时x^3=O(x)
n->+oo时lnn=O(n)
这些都不是同阶量。

Answer 2

请问电灯侠客 我看到有道题 x→0时，α(x)=o(x^2)，证明α(x)=o(x)
我是用极限证明的，证明α(x)/x 在x→0时极限是0
可答案是α(x)/x=α(x)x/x^2=o(1)x=o(1)
o(1)是什么意思呢？

追问

这个题目我明白： o(1)即表示无穷小量，a(x)/x的分子分母同乘以x既得a(x)x=x^2，条件已经告诉我们a(x)为x^2的高阶无穷小， a(x)x当然也是x^2的高阶无穷小，所以等于O(1)，结论证得。