Question

有难题：高一三角函数竞赛题

已知函数f(x)=｜sin x｜,g(x)=kx（k＞0）.y=f(x)与y=g(x)的图象恰有三个交点，交点横坐标的最大值为α.求证
（1）tanα＝α
（2）（cos0•cosα）^-1+（cosα•cos2α）^-1+（cos2α•cos3α）^-1+（cos3α•cos4α）^-1＜-√3 /sinα

Answer 1

这道题最好把图像和代数放在一起考虑。
(1)可以画出f(x)=|sin x|,g(x)=kx的图象，若它们有三个交点，第一个是(0,0),第二个在(π/2,π)第三个交点在(π,3π/2)一定是切点，第三个交点满足y=-sinx,而且y'=-cosx=k，所以k=-sinα/α=-cosα,tanα＝α.
(2)直接处理是不现实的，所以我们首先要对左边进行恒等变形。
我想直接可以想到的是对分母积化和差，但是变了没有用。
我们又可以想到（cos0•cosα）^-1是否可化成k(1/cos0-1/cosα)的形式，但分子是cosα-cos0,四个分子没有共同点，所以三角的化简和1/2*3=1/2-1/3是不同的。
我最后想到是tan0-tanα=sin0/cos0-sinα/cosα=(sin0cosα-sinαcos0)/cos0cosα=-sinα/cos0cosα，所以1/cos0cosα=-(tan0-tanα)/sinα
同理cosα•cos2α=-(tanα-tan2α)/sinα，等等。我这样想的原因是右边分母中有一个sinα.
于是左边可以化简得到-(tan0-tanα + tanα- tan2α + tan2α -tan3α+ tan3α - tan4α)/sinα=tan4α/sinα
欲证tan4α/sinα＜-sqrt3/sinα，只要证tan4α>-sqrt3
而现在α的范围只在(π,3π/2),4α∈(4π,6π),要证明tan4α>-sqrt3，4α∈(4π,6π)范围实在太宽范了，所以要缩小范围。
我可以证得α∈(π+5π/12,3π/2),选择π+5π/12的理由有两个，第一，5π/12是最接近π/2，而且其三角函数值可以由倍角公式算出，可以作为常数记忆sin75=(sqrt6+sqrt2)/4,cos75=(sqrt6-sqrt2)/4,tan75=2+sqrt3,第二，tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3,刚好可以放缩。
证明过程是这样的，画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。(此性质如果用导数研究y=tanx-x在(π,3π/2)的单调性，也可。)
所以当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.
所以α∈(π+5π/12,3π/2)，4α∈(5π+2π/3,6π),tan4α在(5π+2π/3,6π)是单调递减的，而tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3，所以tan4α>tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3
所以（cos0•cosα）^-1+（cosα•cos2α）^-1+（cos2α•cos3α）^-1+（cos3α•cos4α）^-1<-sqrt3 /sinα
如果没有想到选择π+5π/12，可以这样做，
要证tan4α>-sqrt3，而4α∈(4π,6π),（画图判断）只要4α不∈(4π+π/2,4π+2π/3)U(4π+3π/2,5π+2π/3),即证α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)，而
画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。
而当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.所以α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)
故原命题得证。
其实第一种非风险很大的，万一75度不够大呢，所以其实我是用第二种方法做出来以后才装模作样弄一下的^_^

Answer 2

先占个位子

Answer 3

这道题最好把图像和代数放在一起考虑。
(1)可以画出f(x)=|sinx|,g(x)=kx的图象，若它们有三个交点，第一个是(0,0),第二个在(π/2,π)第三个交点在(π,3π/2)一定是切点，第三个交点满足y=-sinx,而且y'=-cosx=k，所以k=-sinα/α=-cosα,tanα＝α.
(2)直接处理是不现实的，所以我们首先要对左边进行恒等变形。
我想直接可以想到的是对分母积化和差，但是变了没有用。
我们又可以想到（cos0•cosα）^-1是否可化成k(1/cos0-1/cosα)的形式，但分子是cosα-cos0,四个分子没有共同点，所以三角的化简和1/2*3=1/2-1/3是不同的。
我最后想到是tan0-tanα=sin0/cos0-sinα/cosα=(sin0cosα-sinαcos0)/cos0cosα=-sinα/cos0cosα，所以1/cos0cosα=-(tan0-tanα)/sinα
同理cosα•cos2α=-(tanα-tan2α)/sinα，等等。我这样想的原因是右边分母中有一个sinα.
于是左边可以化简得到-(tan0-tanα+tanα-tan2α+tan2α-tan3α+tan3α-tan4α)/sinα=tan4α/sinα
欲证tan4α/sinα＜-sqrt3/sinα，只要证tan4α>-sqrt3
而现在α的范围只在(π,3π/2),4α∈(4π,6π),要证明tan4α>-sqrt3，4α∈(4π,6π)范围实在太宽范了，所以要缩小范围。
我可以证得α∈(π+5π/12,3π/2),选择π+5π/12的理由有两个，第一，5π/12是最接近π/2，而且其三角函数值可以由倍角公式算出，可以作为常数记忆sin75=(sqrt6+sqrt2)/4,cos75=(sqrt6-sqrt2)/4,tan75=2+sqrt3,第二，tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3,刚好可以放缩。
证明过程是这样的，画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。(此性质如果用导数研究y=tanx-x在(π,3π/2)的单调性，也可。)
所以当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.
所以α∈(π+5π/12,3π/2)，4α∈(5π+2π/3,6π),tan4α在(5π+2π/3,6π)是单调递减的，而tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3，所以tan4α>tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3
所以（cos0•cosα）^-1+（cosα•cos2α）^-1+（cos2α•cos3α）^-1+（cos3α•cos4α）^-1<-sqrt3/sinα
如果没有想到选择π+5π/12，可以这样做，
要证tan4α>-sqrt3，而4α∈(4π,6π),（画图判断）只要4α不∈(4π+π/2,4π+2π/3)U(4π+3π/2,5π+2π/3),即证α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)，而
画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。
而当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.所以α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)
故原命题得证。
其实第一种非风险很大的，万一75度不够大呢，所以其实我是用第二种方法做出来以后才装模作样弄一下的^_^

Answer 4

这道题最好把
图像
和
代数
放在一起考虑。
(1)可以画出f(x)=|sin
x|,g(x)=kx的
图象
，若它们有三个
交点
，第一个是(0,0),第二个在(π/2,π)第三个交点在(π,3π/2)一定是
切点
，第三个交点满足y=-sinx,而且y'=-cosx=k，所以k=-sinα/α=-cosα,tanα＝α.
(2)直接处理是不现实的，所以我们首先要对左边进行恒等变形。
我想直接可以想到的是对
分母
积化和差，但是变了没有用。
我们又可以想到（cos0•cosα）^-1是否可化成k(1/cos0-1/cosα)的
形式
，但
分子
是cosα-cos0,四个分子没有共同点，所以三角的化简和1/2*3=1/2-1/3是不同的。
我最后想到是tan0-tanα=sin0/cos0-sinα/cosα=(sin0cosα-sinαcos0)/cos0cosα=-sinα/cos0cosα，所以1/cos0cosα=-(tan0-tanα)/sinα
同理cosα•cos2α=-(tanα-tan2α)/sinα，等等。我这样想的原因是
右边
分母中有一个sinα.
于是左边可以化简得到-(tan0-tanα
+
tanα-
tan2α
+
tan2α
-tan3α+
tan3α
-
tan4α)/sinα=tan4α/sinα
欲证tan4α/sinα＜-sqrt3/sinα，只要证tan4α>-sqrt3
而现在α的
范围
只在(π,3π/2),4α∈(4π,6π),要证明tan4α>-sqrt3，4α∈(4π,6π)范围实在太宽范了，所以要
缩小范围
。
我可以证得α∈(π+5π/12,3π/2),选择π+5π/12的理由有两个，第一，5π/12是最接近π/2，而且其三角函数值可以由
倍角公式
算出，可以作为
常数
记忆sin75=(sqrt6+sqrt2)/4,cos75=(sqrt6-sqrt2)/4,tan75=2+sqrt3,第二，tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3,刚好可以放缩。
证明
过程
是这样的，画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。(此性质如果用
导数
研究y=tanx-x在(π,3π/2)的
单调性
，也可。)
所以当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.
所以α∈(π+5π/12,3π/2)，4α∈(5π+2π/3,6π),tan4α在(5π+2π/3,6π)是单调递减的，而tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3，所以tan4α>tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3
所以（cos0•cosα）^-1+（cosα•cos2α）^-1+（cos2α•cos3α）^-1+（cos3α•cos4α）^-1<-sqrt3
/sinα
如果没有想到选择π+5π/12，可以这样做，
要证tan4α>-sqrt3，而4α∈(4π,6π),（画图判断）只要4α不∈(4π+π/2,4π+2π/3)U(4π+3π/2,5π+2π/3),即证α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)，而
画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。
而当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.所以α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)
故原
命题
得证。
其实第一种非风险很大的，万一75度不够大呢，所以其实我是用第二种方法做出来以后才装模作样弄一下的^_^

Answer 5

这道题最好把图像和代数放在一起考虑。
(1)可以画出f(x)=|sin
x|,g(x)=kx的图象，若它们有三个交点，第一个是(0,0),第二个在(π/2,π)第三个交点在(π,3π/2)一定是切点，第三个交点满足y=-sinx,而且y'=-cosx=k，所以k=-sinα/α=-cosα,tanα＝α.
(2)直接处理是不现实的，所以我们首先要对左边进行恒等变形。
我想直接可以想到的是对分母积化和差，但是变了没有用。
我们又可以想到（cos0•cosα）^-1是否可化成k(1/cos0-1/cosα)的形式，但分子是cosα-cos0,四个分子没有共同点，所以三角的化简和1/2*3=1/2-1/3是不同的。
我最后想到是tan0-tanα=sin0/cos0-sinα/cosα=(sin0cosα-sinαcos0)/cos0cosα=-sinα/cos0cosα，所以1/cos0cosα=-(tan0-tanα)/sinα
同理cosα•cos2α=-(tanα-tan2α)/sinα，等等。我这样想的原因是右边分母中有一个sinα.
于是左边可以化简得到-(tan0-tanα
+
tanα-
tan2α
+
tan2α
-tan3α+
tan3α
-
tan4α)/sinα=tan4α/sinα
欲证tan4α/sinα＜-sqrt3/sinα，只要证tan4α>-sqrt3
而现在α的范围只在(π,3π/2),4α∈(4π,6π),要证明tan4α>-sqrt3，4α∈(4π,6π)范围实在太宽范了，所以要缩小范围。
我可以证得α∈(π+5π/12,3π/2),选择π+5π/12的理由有两个，第一，5π/12是最接近π/2，而且其三角函数值可以由倍角公式算出，可以作为常数记忆sin75=(sqrt6+sqrt2)/4,cos75=(sqrt6-sqrt2)/4,tan75=2+sqrt3,第二，tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3,刚好可以放缩。
证明过程是这样的，画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。(此性质如果用导数研究y=tanx-x在(π,3π/2)的单调性，也可。)
所以当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.
所以α∈(π+5π/12,3π/2)，4α∈(5π+2π/3,6π),tan4α在(5π+2π/3,6π)是单调递减的，而tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3，所以tan4α>tan[4*(π+5π/12)]=-sqrt3
所以（cos0•cosα）^-1+（cosα•cos2α）^-1+（cos2α•cos3α）^-1+（cos3α•cos4α）^-1<-sqrt3
/sinα
如果没有想到选择π+5π/12，可以这样做，
要证tan4α>-sqrt3，而4α∈(4π,6π),（画图判断）只要4α不∈(4π+π/2,4π+2π/3)U(4π+3π/2,5π+2π/3),即证α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)，而
画图像，y=tanx,y=x，观察它们在(π,3π/2)的交点，有如下性质：在(π,3π/2)，当x>α,tanx/x>1，当x<α,tanx/x<1。
而当x=π+5π/12时，tanx/x<1，所以α>x=π+5π/12.所以α不∈(π+π/8,π+π/6)U(π+3π/8,π+5π/12)
故原命题得证。
其实第一种非风险很大的，万一75度不够大呢，所以其实我是用第二种方法做出来以后才装模作样弄一下的^_^