Question

已知两个等差数列5，8，11···和3，7，11···都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所有相同项的和

Answer 1

设等差数列5，8，11···的通项式为an，3，7，11···的通项式为bn，则
an=3n+2，bn=4n-1 ，若两数列有相同项，则有3n1+2=4n2-1，整理得n1=4n2/3-1。
又因为n1，n2小于等于100，且n1，n2是自然数，故相同项=100/3-1=32项，其通项式=9n+2；
其相同项组成的数列是以11为首项，公差为12的等差数列，故所有相同项的和=11*32+32*（32-1）/2*12=6304

Answer 2

解：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
其和S25=11×25+
25×24
2
×12=3875．
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n-1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=
4
3
m-1．
又m、n∈N*，∴设m=3r（r∈N*），
得n=4r-1．
根据题意得
1≤3r≤1001≤4r-1≤100
解得1≤r≤25（r∈N*）．
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S25=11×25+
25×24
2 ×12=3875．

Answer 3

设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=11+12（n-1）=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
所以他们所有相同项的和为
(11+299)*25/2=3875

Answer 4

由题意，两个等差数列5，8，11···和3，7，11· 的相等项也是等差数列
通项为11+12（n-1）
又 等差数列5，8，11···第100项为302
所以11+12（n-1）最大项是第25项，即299
所以他们所有相同项的和为
(11+299)*25/2=3875