Question

已知函数f(x)=|x|(x-a) (a∈R)。(1)讨论f(x)在R上的奇偶性

（2）当a≤0时，求函数f(x)的单调区间；
（3）在（2）的条件下，求函数f(x)在[-1,1/2]的最大值

Answer 1

已知函数f(x)=|x|(x-a) (a∈R)。(1)讨论f(x)在R上的奇偶性
（2）当a≤0时，求函数f(x)的单调区间；
（3）在（2）的条件下，求函数f(x)在[-1,1/2]的最大值
解：x>0 f(x)=x(x--a) x<0 f(x)=--x(x--a)
x>0 f(--x)=l--xl(--x--a)=--x(x+a) --f(x)=--x(x--a) 两者不相等
x<0 f(--x)=l--xl(--x--a)=--x(--x--a)=x(x+a) --f(x)=+x(x--a) 两者不相等
所以非奇非偶
（2）解：x>0 f(x)=x(x--a)= (x--a/2)²--(a/2) ² x=a/2为对称轴，因为a<0，对称轴在Y轴左边且抛物线开口向上 所以 x>0 时 函数为增。
当x<0 f(x)=--x(x--a)=--(x--a/2)²+(a/2)² 函数的图像开口向下，对称轴x=a/2在Y轴左边，因此
x<a/2 时： 增函数 ； a/2<x<0 时： 减函数 ； x>0 时： 增函数 ； （此函数分为三个单调区间）
（3）f(1/2)=(1/2)(1/2--a)=(1--2a)/4
f(0)=0
f(--1)=--1--a
f(a/2)=(--a/2)(--a/2)= (a)²/4
当a/2<--1 f(1/2) 与 f(--1) 比较：
a<--2.5 时： f(1/2)<f(--1) ；
--2.5<a<--2 时： f(1/2)>f(--1)
当 --1<a/2<0时： f(1/2) > f(a/2)
当a≤0时， 函数f(x)在[-1,1/2]的最大值，随着a的取值不同，最大值也跟着不同。
a<--2.5 时： 最大值是： f(--1) ；
--2.5<a<--2 时： 最大值是： f(1/2)
当 --1<a/2<0时：最大值是： f(1/2)
当a=2.5时：f(1/2) 与 f(--1)一样大