Question

已知f(x)是定义在（0,正无穷大）上的函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2分之1）=1，

已知f(x)是定义在（0,正无穷大）上的函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2分之1）=1，对于x,y属于（0，正无穷），当且仅当X大于Y时,f(x)小于f(y) 问题若f(-x)+f(3-x)大于或等于-2，求X的取值范围

Answer 1

因为：对于x,y属于（0，正无穷），当且仅当X大于Y时,f(x)小于f(y)
所以：f(x)在定义域（0,正无穷大）上是一个单调递减的函数；
对于不等式：f(-x)+f(3-x)≧-2，
首先要满足定义域的要求：-x>0，得：x<0；
3-x>0，得：x<3；
所以x<0；
由题意：f(xy)=f(x)+f(y)，得：f(-x)+f(3-x)=f(x^2-3x)；
在等式f(xy)=f(x)+f(y)中，令y=1，得：f(x)=f(x)+f(1)，所以：f(1)=0；
又因f(1/2)=1，所以f(1)=f[2*(1/2)]=f(2)+f(1/2)=0，得：f(2)=-1；
则f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=-2；
所以不等式：f(-x)+f(3-x)≧-2，可化为：f(x^2-3x)≧f(4)；
再结合单调递减性：x^2-3x≦4，即：x^2-3x-4≦0
十字相乘：(x-4)(x+1)≦0，得：-1≦x≦4
结合定义域x<0，得：-1≦x<0
所以X的取值范围是[-1，0)

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！