Question

4x^2/[1-√(1+2x)]^2＜2x＋9的解集为？？

Answer 1

-1/2<=x <0 或0<x <45/8

不等式左端分母和根号要求 1+2x>=0 ,1-√(1+2x) 不=0，
将不等式左边上下同乘以 [√(1+2x)+1]^2 得
左边 =4x^2* [√(1+2x)+1]^2 / { [1-√(1+2x)]^2* [√(1+2x)+1]^2 } =
4x^2* [√(1+2x)+1]^2 / { [1-√(1+2x)]* [√(1+2x)+1] }^2 =4x^2* [√(1+2x)+1]^2 / (2x)^2
=[√(1+2x)+1]^2 = 2x+2 +2*√(1+2x)
所以原不等式 等价于 2x+2 +2*√(1+2x) <2x＋9 即 √(1+2x) <7/2
考虑到上面的条件 1+2x>=0 ,1-√(1+2x) 不=0 有 0<= 1+2x <49/4 且 x 不=0
所以 -1/2<=x <45/8 且 x 不等于0 或写成 -1/2<=x <0 或0<x <45/8

这题有分子分母同乘一个数的技巧 ，就是分母有理化，即c /（√b + -√a）上下同乘√b -+√a ，使分母变成整数， 如果生算原式，即将左边分母展开在乘到右边，然后化简，结果肯定一样，但非常麻烦