Question

高等数学二重积分问题请教。图中计算题第一题怎么做？

Answer 1

这题的积分区域---圆域的圆心为（1/2,1/2)，半径为(√2)/2
因为圆心非原点，所以无论用直角坐标还是极坐标，上下限都不好确定。所以应想到把圆域平移到原点处，即用坐标变换。
但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式，一般来说比较麻烦，而此题只是平移，不涉及旋转，变形之类得，所以可省去雅克比的过程。

令x=(1/2)+u，y=(1/2)+v,则积分圆域变为以（0,0）为圆心，以(√2)/2为半径。
而原积分=∫∫(1+u+z)dudv
因为，变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称，
且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数
所以，∫∫ududv=∫∫vdudv=0
故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2

（但注意，平移的时候能像这样代入，因为雅克比行列式等于1，其他变换还要乘以雅克比行列式。）

Answer 2

极坐标换元，θ由-π/4变到3π/4，r由0变到sinθ+cosθ