Question

高一数学 急 已知f(x)=x^2+ax+b/x,x∈(0,+∞)

（1）若b≥1，求证：函数f(x)在（0，1）上是减函数
（2）是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列两个条件
①在（0,1）上是减函数，（1，正无穷大）上是增函数
②在f(x)的最小值是3.若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由.
f(x)=（x^2+ax+b）/x

Answer 1

f(x)=(x²+ax+b)/x=x+a+b/x
(1)对于任意x1,x2(1>x1>x2>0)，若证明了f(x1)<f(x2)则f（x）为减函数
f(x1)-f(x2)=x1+a+b/x1-x2-a-b/x2
=(x1-x2)(1-b/(x1x2))
∵ 1>x1>x2>0
∴x1-x2>0 x1x2<1
∵b≥1 ∴b/(x1x2)>1
∴1-b/(x1x2)<0
∴f(x1)<f(x2) 则f（x）在（0，1）为减函数
(2)对任意x1>x2有
f(x1)-f(x2)=x1+a+b/x1-x2-a-b/x2
=(x1-x2)(1-b/(x1x2))
要满足（0,1)为减函数，则b≥1。
要满足x1>x2>1为增函数，则b/(x1x2)<1==>b<x1x2，要使不等式恒成立，b=1
①当b=1时在（0,1）上是减函数，（1，正无穷大）上是增函数
②在满足①的前提下，显然x=1时f(x)有最小值
代入有1+a+1/1=3==>a=1